Operasi pada Bentuk Aljabar

Operasi pada Bentuk Aljabar

Bentuk aljabar merupakan kaidah atau aturan untuk memecahkan masalah-masalah yang berhubungan dengan pengukuran, yang biasanya ditulis dalam rumus atau formula matematika.

a. Penjumlahan dan pengurangan

Penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar dapat dilakukan jika suku-sukunya sejenis. Suku-suku sejenis merupakan simbol-simbol dalam matematika yang sama dan mempunyai pangkat yang sama. Suku-suku sejenis misalnya 2x dengan 7x, 8x² dengan 3x², x³ dengan 9x³, dan sebagainya.

Contoh :

Tentukanlah !

a. Jumlah dari 4x² – xy + 2x dengan 5xy – 2x² – 5x

b. Kurangkan 9y² + 5y + 6 oleh –5y² + 2y + 2

Penyelesaian :

a. Jumlah dari 4x² – xy + 2x dengan 5xy – 2x² – 5x

= (4x² – xy + 2x) + (5xy – 2x² – 5x)

= 4x² – 2x² – xy + 5xy + 2x – 5x

= (4 – 2)x² + (1– 5)xy + (2 – 5)x

= 2x² + 4xy – 3x

b. Kurangkan 9y² + 5y + 6 oleh –5y² + 2y + 2

= (9y² + 5y + 6) – (–5y² + 2y + 2)

= (9y² + 5y + 6) + ( 5y² – 2y – 2)

= 9y² + 5y² + 5y – 2y + 6 – 2

= (9 + 5)y² + (5 – 2)y + (6 – 2)

= 14y² + 3y + 4

b. Perkalian suku dua

Perkalian suku dua merupakan perkalian antara dua suku dalam suatu operasi. Untuk melakukan perkalian suku dua ini dapat digunakan sifat distributif perkalian, yaitu a(b + c) = ab + ac.

Contoh :

Sederhanakan bentuk aljabar di bawah ini dengan menggunakan sifat distributif perkalian dan dengan skema !

a. 4 (x + 3y)

b. (x + 6) (x – 3)

Penyelesaian :

a. Dengan sifat distributif perkalian :

4 (x + 3y) = 4x + 12y

Dengan skema :

4 (x + 3y ) = 4x + 12y

b. Dengan sifat distributif perkalian :

(x + 6) (x – 3) = x(x – 3)+ 6(x – 3)

= x² – 3x + 6x – 18

= x² + 3x – 18

Dengan skema :

(x + 6) (x – 3 ) = x² – 3x + 6x – 18

= x² + 3x – 18

c. Pemfaktoran

Pemfaktoran pada bentuk aljabar artinya mengubah penjumlahan atau pengurangan bentuk aljabar menjadi bentuk perkalian. Misalnya memfaktorkan bentuk ab + ac artinya mengubah ab + ac menjadi bentuk perkalian ab + ac = a(b + c). Maka a dan (b + c) adalah faktor-faktor dari ab + ac.

Bentuk aljabar yang harus difaktorkan pada tingkat SLTP sebatas pada memfaktorkan bentuk ax + ay, bentuk x² ± 2xy + y², bentuk x² – y², bentuk ax² + bx + c dengan a = 1, dan bentuk ax² + bx + c dengan a ¹ 1. Oleh karena itu untuk membahas pemfaktoran bentuk aljabar diuraiakan sebagai berikut ini.

1) Bentuk ax + ay

Untuk memfaktorkan bentuk aljabar ax + ay dapat dilakukan dengan menggunakan sifat distributif perkalian. Dengan demikian ax + ay = a(x+ y) sehingga faktor ax + ay adalah a dan (x+ y).

Contoh :

Faktorkan 18x² – 9x³y !

Penyelesaian :

Faktor persekutuan antara 18x² dan 9x³y adalah 9x² , sehingga diperoleh faktor 18x² – 9x³y = 9x² (2 – xy)

2) Bentuk x² + 2xy + y²

Hasil perkalian suku dua dari (x + y) (x + y) = x² + 2xy + y², sehingga faktor dari bentuk x² + 2xy + y² = (x + y) (x + y). Untuk memfaktorkan bentuk x² + 2xy + y² menjadi (x + y) (x + y) caranya dengan mengubah suku 2xy menjadi xy + xy atau mengubah suku 2xy menjadi perkalian 2. x. y (Dedi Junaedi, 1999: 78).

Contoh :

Faktorkanlah x² + 12x + 36 !

Jawab :

x² + 12x + 36 = x² + 6x + 6x + 36

= (x² + 6x) + (6x + 36)

= x (x + 6) + 6 (x + 6)

= (x + 6)(x + 6) atau

x² + 12x + 36 = x² + 2. 6. x + 36

= (x + 6)²

3) Bentuk x² – y²

Bentuk x² – y² dapat difaktorkan menjadi (x + y) (x – y). Hal ini diperoleh dari perkalian dua suku (x + y) (x – y) = x (x – y) + y(x – y)

= x² – xy + xy – y²

= x² – y²

Contoh :

Faktorkanlah 4x² – 81 !

Penyelesaian :

4x² – 81 = 2²x² – 9²

= (2x + 9)(2x – 9)

4) Bentuk ax² + bx + c dengan a = 1

Untuk memfaktorkan bentuk ax² + bx + c di mana a = 1 dengan memisalkan :

x² + bx + c = (x + p)(x + q)

= x² + px + qx + pq

= x² + (p + q)x + pq

Dari penjelasan tersebut, diperoleh hubungan p + q = b dan p . q = c.

Contoh :

Faktorkan x² + 3x + 2 !

Penyelesaian :

x² + 3x + 2, berarti b = 3, dan c = 2, sehingga diperoleh p = 1 dan q = 2 karena p + q = 3 dan p . q = 2.

Jadi pemfaktoran x² + 3x + 2 adalah (x + 1)(x + 2).

5) Bentuk ax² + bx + c dengan a ¹ 1

Untuk memfaktorkan bentuk ax² + bx + c di mana a ¹ 1 dengan memisalkan :

ax² + bx + c = .

Jika kedua ruas dikalikan a akan diperoleh :

a²x² + abx + ac = (ax + p)(ax + q)

= a²x² + pax + qax + pq

= a²x² + (p + q)ax + pq

Dari penjelasan tersebut diperoleh p + q = b dan p.q = ac.

Contoh :

Faktorkan 2x² + 7x + 3 !

Penyelesaian :

2x² + 7x + 3, diperoleh a = 2, b = 7, c = 3

Dengan demikian p + q = b Û p + q = 7

p.q = ac Û p.q = 6

Harga yang memenuhi p = 6 dan q = 1

Hal ini berarti 2x² + 7x + 3 =

=

= (x + 3)(2x + 1)

Jadi faktor 2x² + 7x + 3 adalah (x + 3) dan (2x + 1).