Kesebangunan

Dua bangun yang bersisi lurus dikatakan sebangun bila semua sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang sama. Contoh kesebangunan ini adalah gambar atau model bangun–bangun yang dapat diperbesar atau diperkecil di mana sebangun dengan aslinya tetapi ukurannya lebih besar atau lebih kecil.

Gambar Berskala, Foto, dan Model Berskala

Gambar berskala merupakan gambar yang dibuat dalam bidang gambar (misalnya: kertas, kanvas, dan lain-lain) dengan perbandingan tertentu terhadap gambar sebenarnya. Gambar berskala ini biasanya dibuat oleh ahli bangunan, di mana gambar berskala tersebut sebangun dengan bangunan yang sebenarnya. Selain gambar berskala, foto dan model berskala merupakan contoh lain benda yang dibuat sebangun dengan benda sebenarnya.

Untuk menyatakan perbandingan ukuran yang dibuat dalam gambar berskala, foto dan model berskala dengan benda sebenarnya dinyatakan dengan skala. Menurut Isrori dan Kusumawati (2004: 27) skala diratikan sebagai perbandingan antara jarak pada gambar/model dengan jarak sebenarnya. Misalkan pada gambar ditulis skala = 1 : 100, maka dapat diartikan setiap 1 cm di gambar mewakili 100 cm pada ukuran sebenarnya. Dengan demikian skala dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut :

Skala =
Selain menggunakan skala, ukuran pada gambar dan ukuran sebenarnya dapat dicari dengan cara perbandingan sebagai berikut :
= =
Contoh 1 :
Tinggi sebuah gedung 30 m, tetapi pada foto hanya 10 cm. Berapa skala foto itu ?
Penyelesaian :
Skala =
= = =
Jadi skalanya adalah 1 : 300
Contoh 2:
Sebuah model pesawat terbang dibuat dengan lebar sayap 12,8 cm dan panjang 14,4 cm. Jika panjang sebenarnya 18 m, berapakah lebar sayap sebenarnya ?
Penyelesaian :
=
=
=
Lebar sebenarnya = 12,8 cm x = 1600 cm
Jadi lebar sayap sebenarnya adalah 1600 cm atau 16 m.
Berdasarkan uraian di atas disimpulkan bahwa gambar berskala merupakan gambar yang dibuat dalam bidang gambar (misalnya: kertas, kanvas, dan lain-lain) dengan perbandingan tertentu terhadap gambar sebenarnya. Untuk menyatakan perbandingan ukuran yang dibuat dalam gambar berskala, foto dan model berskala dengan benda sebenarnya dinyatakan dengan skala.

Bangun-bangun yang Sebangun





Jika dibandingkan bentuk rumah dengan fotonya, maka dapat dikatakan bahwa keduanya sebangun. Menurut Djunaedi (1998: 40) dua benda atau bangun datar sebangun, jika memenuhi persyaratan sebagai berikut :

Semua sudut yang bersesuaian sama besar

Sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang sama









Contoh 3:


3 cm



6 cm



Tunjukkan bangun-bangun di bawah yang sebangun !
(i) (ii) (iii) (iv)
Penyelesaian :
Dua benda sebangun jika memenuhi ukuran sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan sama dan sudut-sudut yang bersesuaian besarnya sama. Hal ini dipenuhi oleh bangun (i) dan (iii) dengan perbandingan panjang sebesar 8 : 4 sama dengan perbandingan lebar sebesar 6 : 3, serta sudut-sudut yang bersesuaian besarnya sama sebesar 900. Walaupun bangun (ii) mempunyai sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dengan bangun (i) dan (iii), tetapi perbandingan ukuran sisi-sisinya yang bersesuaian tidak sama. Sedangkan pada bangun (iv) mempunyai perbandingan ukuran sisi-sisi yang bersesuaian sama, tetapi sudut-sudut yang bersesuaian tidak sama besar dengan sudut bangun (i) dan (iii).
Contoh 4 :
Sebuah majalah berukuran 30 cm x 20 cm sebangun dengan taplak meja berukuran panjang 120 cm dan lebarnya x cm. Tentukan x !
Penyelesaian :
Karena sebangun, maka majalah dengan taplak meja mempunyai sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang sama.
=
=
x cm = x 20 cm
x cm = 4 x 20 cm = 80 cm
Jadi lebar taplak meja 80 cm.
Berdasarkan uraian di atas disimpulkan bahwa dua benda atau bangun datar sebangun haruslah memenuhi persyaratan semua sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang sama.

Segitiga-segitiga yang Sebangun





Seperti halnya pada bangun-bangun yang sebangun, bahwa ada syarat yang harus dipenuhi untuk dikatakan sebangun, begitu pula dalam segitiga-segitiga yang sebangun. Menurut Junaedi (1998: 42) dua segitiga dikatakan sebangun jika salah satu ketentuan berikut dipenuhi :

Sudut-sudut yang bersesuaian besarnya sama

Sisi-sisi yang bersesuaian perbandinganya sama









Dengan demikian jika sudut-sudut yang bersesuaian pada dua buah segitiga sama besar, sisi-sisi yang bersesuaian sebanding, maka kedua segitiga itu pasti sebangun. Jika sisi-sisi yang bersesuaian pada dua buah segitiga sebanding sementara sudut-sudut yang bersesuaian belum diketahui sama besar, maka kedua segitiga itu juga pasti sebangun atau jika kedua segitiga tersebut memiliki pasangan sudut yang sama dan perbandingan panjang sisinya belum diketahui, maka kedua segitiga itupun sebanding.
Contoh 5:
Sebatang tongkat dengan panjang 2 m berdiri tegak. Di sampingnya ada sebuah pohon yang cukup tinggi. Pada saat yang sama sinar matahari memancar sehingga membuat bayangan tongkat sepanjang 3 m dan bayangan pohon sepanjang 15 m. Hitunglah tinggi pohon tersebut !
Penyelesaian :
Jika peristiwa tersebut digambarkan diperoleh sketsa sebagai berikut :



X m



15 m



3 m



Karena ternyata kalau dibuat sketsa berupa dua segitiga yang sebangun, sehingga dapat dibuat perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian sebagai berikut :
=
=
x m = x 2 m = 10 m
Jadi tinggi pohon adalah 10 m.
Contoh 6:
Perhatikan gambar, hitunglah panjang a jika diketahui 2AD = 3AE dan CD = 15 cm !
Penyelesaian :
Dari gambar ada dua segitiga yang sebangun, yaitu D ACD dan D ABE, sehingga untuk mencari nilai a diperoleh dari perbandingan kedua sisi segitiga tersebut :
=
=
a = x 15 cm = 10 cm
Berdasarkan uraian di atas disimpulkan bahwa dua segitiga dikatakan sebangun jika salah satu ketentuan berikut dipenuhi sudut-sudut yang bersesuaian besarnya sama dan sisi-sisi yang bersesuaian perbandinganya sama.

Read more »

Penampilan Guru yang Efektif

Untuk menjadi seorang guru yang dapat melakukan peranan dan melaksanakan tugas serta tanggung jawabnya, diperlukan kualifikasi atau syarat-syarat tertentu. Menurut Sardiman A.M bahwa “Syarat-syarat tersebut diklasifikasikan menjadi empat, yaitu persyaratan administratitf, persyaratan teknis, persyaratan psikis, dan persyaratan fisik” (Sardiman, 1997: 124). Oleh karena itu untuk menjelaskan kualifikasi seorang guru diuraikan menurut syarat-syarat tersebut.

a. Persyaratan administratif
Syarat-syarat administratif merupakan syarat-syarat sesuai dengan aturan pemerintah yang berlaku. Seperti kewarganegaraannya adalah warga negara Indonesia, umur sekurang-kurangnya 18 tahun, berkelakuan baik, mengajukan permohonan, lulusan lembaga pendidikan guru, seperti IKIP FKIP (Fakultas keguruan dan ilmu pendidikan), dan FT (Fakultas tarbiyah). Di samping itu masih ada syarat-syarat lain yang telah ditentukan sesuai dengan kebijakan yang ada.
b. Persyaratan teknis
Dalam persyaratan teknis ini, seorang guru harus memiliki ilmu keguruan. Salah satu syarat yang bersifat formal, yakni harus berpendidikan guru. Hal ini menunjukkan bahwa seseorang yang memiliki pendidikan guru dinilai sudah mampu mengajar. Kemudian syarat-syarat yang lain adalah menguasai cara dan teknik mengajar, terampil mendisain program pengajaran, memiliki motivasi dan cita-cita memajukan pendidikan.
c. Persyaratan psikis
Persyaratan psikis antara lain sehat rohani, dewasa dalam berpikir dan bertindak, mampu mengendalikan emosi, sabar, ramah dan sopan, memiliki jiwa keguruan dan kepemimpinan, konsekuen dan berani bertanggung jawab, berani berkorban dan memiliki jiwa pengabdian. Di samping itu guru harus juga mematuhi norma dan nilai yang berlaku serta memiliki semangat membangun dan memiliki hati nurani untuk mengabdi demi anak didik, serta mempunyai sikap menyenangi profesi keguruan.
d. Persyaratan fisik
Persyaratan fisik ini antara lain meliputi berbadan sehat, tidak memiliki cacad tubuh yang mungkin menganggu pekerjaannya, tidak memiliki gejala-gejala penyakit menular. Dalam persyatan fisik ini juga menyangkut kerapian dan kebersihan, termasuk bagaimana cara berpakaian. Sebab bagaimanapun juga guru akan selalu dilihat, diamati dan bahkan dinilai oleh para siswanya.
Berdasarkan uraian di atas dapat ditarik kesimpulan bahwa kualifikasi yang harus dipenuhi oleh seorang guru meliputi persyaratan administratitf, persyaratan teknis, persyaratan psikis, dan persyaratan fisik. Persyaratan administratif merupakan syarat-syarat sesuai dengan aturan pemerintah yang berlaku. Persyaratan teknis misalnya menguasai cara dan teknik mengajar, terampil mendisain program pengajaran pengajaran, serta memiliki motivasi dan cita-cita memajukan pendidikan. Persyatan psikis antara lain sehat rohani, dewasa dalam berpikir dan bertindak, mampu mengendalikan emosi, sabar, ramah dan sopan, memiliki jiwa kepemimpinan, berani berkorban dan memiliki jiwa pengabdian. Persyaratan fisik ini antara lain berbadan sehat, tidak memiliki cacad tubuh yang mungkin menganggu pekerjaannya.

Guru memiliki banyak memiliki banyak kombinasi sifat atau kualitas pribadi. Apa yang menarik dan efektif bagi seorang siswa yang lain. Guru yang efektif pada suatu tingkatan tertentu mungkin tidak efektif pada tingkatan yang lain. Hal ini disebabkan oleh adanya perbedaan-perbedaan tingkat perkembangan mental dan emosional para siswa. Dengan kata lain, para siswa memiliki respons yang berbeda-beda terhadap pola-pola perilaku guru yang sama. Sekalipun demikian, ada ciri-ciri yang dapat dijadikan pegangan untuk memperbaiki pribadi guru. Menurut Hamalik (2000: 38) guru-guru pribadi dan penampilan yang efektif digambarkan dengan ciri-ciri:
a. Guru yang waspada secara profesional
Guru yang baik adalah guru yang waspada secara profesional. Ia terus berusaha untuk menjadikan masyarakat sekolah menjadi tempat yang paling baik bagi anak-anak muda.
b. Yakin akan nilai atau manfaat pekerjaannya
Guru yakin akan nilai atau manfaat pekerjaannya. Mereka terus berusaha memperbaiki dan meningkatkan mutu pekerjaannya.
c. Tidak lekas tersinggung oleh larangan-larangan
Guru tidak lekas tersinggung oleh larangan-larangan dalam hubungannya dengan kebebasan pribadi yang dikemukakan oleh beberapa orang untuk menggambarkan profesi keguruannya.
d. Memiliki seni dalam hubungan manusiawi
Guru memiliki seni dalam hubungan-hubungan manusiawi yang diperolehnya dari pengamatannya tentang bekerjanya psikologi, biologi, dan antropologi kultural dalam kelas.
e. Berkeinginan terus tumbuh
Guru berkeinginan untuk terus tumbuh. Mereka sadar bahwa di bawah pengaruhnya, sumber-sumber manusia dapat berubah nasibnya.
Dalam kegiatan belajar mengajar guru selalu berhadapan dengan siswa, kaitannya dengan penampilan yang efektif dalam mengajar siswa selalu memberikan pandangan tersendiri tentang penampilan guru yang mereka senangi. Dalam Hamalik (2000: 39) disebutkan beberapa sifat-sifat atau perilaku guru dalam berpenampilan yang disenangi siswa antara lain (i) demokratis, (ii) suka bekerja sama (kooperatif), (iii) baik hati, (iv) sabar, (v) adil, (vi) konsisten, (vii) bersifat terbuka, (viii) suka menolong, (ix) ramah tamah dan (x) menguasai bahan pelajaran.
Guru yang demokratis memberikan kebebasan kepada anak di samping mengadakan pembatasan-pembatasan tertentu, tidak bersifat otoriter dan memberikan kesempatan kepada siswa untuk berperan serta dalam kegiatan belajar mengajar. Guru yang suka bekerja sama bersikap saling memberi dan saling menerima serta dilandasi oleh kekeluargaan dan toleransi yang tinggi. Guru yang baik hati bersikap suka memberi dan berkorban untuk kepentingan anak didiknya. Guru yang sabar tidak suka marah dan lekas tersinggung serta suka menahan diri. Guru yang adil tidak bersikap membeda-bedakan anak dan memberi anak sesuai dengan kesempatan yang sama bagi semuanya. Guru yang konsisten selalu berkata sam dan bertindak sama sesuai dengan ucapannya, baik dulu maupun seterusnya. Guru yang bersifat terbuka akan bersedia menerima kritik dan saran serta kalau perlu mengakui kekurangan dan kelemahannya. Guru yang suka menolong senantiasa siap membantu anak-anak yang mengalami kesulitan atau masalah tertentu. Guru yang ramah-tamah mudah bergaul dan disenangi oleh semua orang, ia tidak sombong dan bersedia bertindak sebagai pendengar yang baik di samping sebagai pembicara yang menarik.
Selain dalam berperilaku, penampilan guru juga dinilai oleh siswa dalam berpenampilan fisik. Menurut Munir (2004: 23) yang termasuk pemampilan fisik yang harus dimiliki oleh guru adalah :
Suara yang bersih dan tidak cacat dalam berbicara
Berpakaian rapi, berwibawa dan tidak berlebihan
Membersihkan badan dan pakaian
Menghilangkan bau badan
Bebas dari penyakit menular

Uraian menunjukkan bahwa penampilan yang efektif adalah guru yang mempunyai beberapa sifat-sifat atau perilaku antara lain (i) demokratis, (ii) suka bekerja sama (kooperatif), (iii) baik hati, (iv) sabar, (v) adil, (vi) konsisten, (vii) bersifat terbuka, (viii) suka menolong, (ix) ramah tamah dan (x) menguasai bahan pelajaran. Selain itu secara fisik guru mempunyai : (i) suara yang bersih dan tidak cacat dalam berbicara, (ii) berpakaian rapi, berwibawa dan tidak berlebihan, (iii) membersihkan badan dan pakaian, (iv) menghilangkan bau badan dan (v) bebas dari penyakit menular

Read more »

Kecerdasan Emosional

Dalam kehidupan, seseorang mempunyai emosi. Terdapat orang yang tidak dapat mengatur emosi, sehingga ia kurang disenangi oleh orang lain. Untuk dapat hidup selaras dengan orang lain dan mengatur kejiwaannya, seseorang harus mampu mengatur emosinya. Kemampuan seseorang mengatur kehidupan emosinya dengan inteligensi inilah yang sering disebut sebagai kecerdasan emosional.

Istilah kecerdasan emosional (emotional intellegence) diciptakan dan didefinisikan secara resmi oleh John Mayer dan Peter Salovey pada tahun 1990, yaitu kemampuan untuk mengenali perasaan, meraih dan membangkitkan perasaan untuk membantu pikiran, memahami perasaan dan maknanya, serta mengendalikan perasaan secara mendalam sehingga membantu perkembangan emosi dan intelektual (Stein dan Book dalam Imanto, 2003: 19).
Cooper dan Sawaf (Saphiro, Lawrence, 1998: 147) mengatakan bahwa kecerdasan emosional adalah kemampuan merasakan, memahami, dan secara selektif menerapkan daya dan kepekaan emosi sebagai sumber energi dan pengaruh yang manusiawi. Kecerdasan emosi menuntut penilikan perasaan, untuk belajar mengakui, menghargai perasaan pada diri dan orang lain serta menanggapinya dengan tepat, menerapkan secara efektif energi emosi dalam kehidupan sehari-hari.
Menurut Goleman dalam Wahyuningsih (2004: 27) bahwa kecerdasan emosional adalah kemampuan seseorang mengatur kehidupan emosinya dengan inteligensi, menjaga keselarasan emosi dan pengungkapannya melalui keterampilan kesadaran diri, pengendalian diri, motivasi diri, empati dan keterampilan sosial.

Kecerdasan emosional bukan merupakan lawan kecerdasan intelektual yang biasa dikenal dengan IQ, namun keduanya berinteraksi secara dinamis. Pada kenyataannya perlu diakui bahwa kecerdasan emosional memiliki peran yang sangat penting untuk mencapai kesuksesan di sekolah, tempat kerja, dan dalam berkomunikasi di lingkungan masyarakat. Ada tujuh unsur utama kemampuan yang berkaitan kecerdasan emosional (Jahja, 2004: 47), yaitu :
a. Keyakinan
Keyakinan merupakan sikap yang ditunjukkan oleh manusia saat ia merasa cukup tahu dan menyimpulkan bahwa dirinya telah mencapai kebenaran Keyakinan yang diyakini di dalam batin individu, entah secara sadar atau tidak menentukan sikap-sikap dan tindakan. Keyakinan timbul dari pengalaman, apa yang dibaca, apa yang didengar, dan apa yang dirasakan. Keyakinan akan dan telah melandasi cara berpikir, berbicara, dan bertindak. Seseorang yang mempunyai kecerdasan emosional baik, maka ia mampu menggunakan keyakinan secara cerdas sesuai dengan kebenaran yang nyata.
b. Rasa ingin tahu
Adanya rasa ingin tahu, individu akan semakin mengerti diri sendiri. Rasa ingin tahu memungkinkan untuk menyingkapkan permasalahan dan pemikiran, yang selama ini ada. Jika rasa ingin tahu dapat dikelola dengan baik, itu akan membawa individu untuk sampai pada tujuan. Segala sesuatu yang tampak nyata dalam hidup tidak sepenuhnya benar. Seorang yang dipenuhi rasa ingin tahu tidak menerima mentah-mentah omongan seseorang, mereka akan mencari kebenaran dari omongan tersebut. Seorang yang dipenuhi rasa ingin tahu mencari informasi detail tentang segala sesuatu, mereka bukan hanya tau “apa” atau “kapan” tapi juga “bagaimana” dan “kenapa”. c. Niat
Niat merupakan kunci dari awal perbuatan. Memulai perbuatan sesuatu merupakan hal yang mudah jika niat yang dibuat individu dilakukan secara benar. Sering kali orang mempunyai niat, tetapi dikarenakan ia tidak cerdas dalam menggunakan niatnya, maka niat yang telah diinginkan menjadi tidak dilakukan. Seseorang yang mempunyai kecerdasan emosional yang baik, ia akan mampu memanfaatkan niatnya sesuai dengan apa yang akan dilakukannya.
d. Kendali diri
Mengendalikan diri dapat dilakukan dengan mengenali emosi diri sendiri. Kendali diri merupakan waspada terhadap suasana hati maupun pikiran tentang suasana hati, bila kurang waspada maka individu menjadi mudah larut dalam aliran emosi dan dikuasai oleh emosi. Kendali diri memang belum menjamin penguasaan emosi, namun merupakan salah satu prasyarat penting untuk mengendalikan emosi sehingga individu mudah menguasai emosi.
e. Keterkaitan
Keterkaitan antar pribadi merupakan kemauan membina dan memelihara hubungan yang saling memuaskan yang ditandai dengan keakraban dan saling memberi serta menerima kasih sayang. Ketrampilan menjalin hubungan antar pribadi yang positif dicirikan oleh kepedulian pada sesama orang. Unsur kecerdasan emosional ini tidak hanya berkaitan dengan keinginan untuk membina persahabatan dengan orang lain, tetapi juga dengan kemampuan merasa tenang dan nyaman berada dalam jalinan hubungan tersebut, serta kemampuan memiliki harapan positif yang menyangkut interaksi sosial.
f. Kecakapan Komunikasi
Kecakapan komunikasi dalam membina hubungan dengan orang lain merupakan keterampilan sosial yang mendukung keberhasilan dalam pergaulan dengan orang lain. Tanpa memiliki kecakapan komunikasi seseorang akan mengalami kesulitan dalam pergaulan sosial. Sesungguhnya karena tidak dimilikinya kecakapan semacam inilah yang menyebabkan seseroang seringkali dianggap angkuh, mengganggu atau tidak berperasaan.
g. Kreatif
Kreativitas adalah proses mental yang melibatkan pemunculan gagasan atau konsep baru, atau hubungan baru antara gagasan dan konsep yang sudah ada. Dari sudut pandang keilmuan, hasil dari pemikiran kreatif (kadang disebut pemikiran divergen) biasanya dianggap memiliki keaslian dan kepantasan. Sebagai alternatif, konsepsi sehari-hari dari kreativitas adalah tindakan membuat sesuatu yang baru.
Uraian di atas dapat menunjukkan bahwa terdapat unsur utama kemampuan yang berkaitan kecerdasan emosional, yaitu keyakinan, rasa ingin tahu, niat, kendali diri, keterkaitan, kecakapan komunikasi dan kreatif. Unsur-unsur utama tersebut yang mempengaruhi kecerdasan emosional, sehingga kecerdasan emosional memiliki peran yang sangat penting untuk mencapai kesuksesan di sekolah, tempat kerja, dan dalam berkomunikasi di lingkungan masyarakat kecerdasan emosional memiliki peran yang sangat penting untuk mencapai kesuksesan di sekolah, tempat kerja, dan dalam berkomunikasi di lingkungan masyarakat.

Read more »

Kesulitan-kesulitan Belajar Matematika

Pembelajaran di sekolah tidak selalu berhasil mencapai tujuan, namun ada hal-hal yang sering mengakibatkan kegagalan ataupun menjadi gangguan. Seperti yang telah disebutkan sebelumnya, ada beberapa faktor yang mempengaruhinya, baik itu faktor internal ataupun eksternal dari siswa. Begitu pula dalam belajar matematika, banyak siswa mengalami kegagalan dalam mencapai tujuan belajar. Siswa yang mengalami kegagalan sering mengatakan bahwa matematika itu sulit dipelajari.

Menurut Hamalik (1982: 139), hal-hal yang mengakibatkan kegagalan atau setidak-tidaknya menjadikan gangguan dalam kemajuan belajar disebut sebagai kesulitan belajar. Selanjutnya kesulitan belajar diartikan oleh Soleh (1999: 35) sebagai kendala-kendala yang menyebabkan ketidakberhasilan dalam belajar.
Jadi dapat dikatakan kesulitan belajar adalah kendala-kendala yang menyebabkan ketidakberhasilan dalam belajar dan mengakibatkan kegagalan atau setidak-tidaknya menjadikan gangguan dalam kemajuan belajar.

Dalam kenyataan pembelajaran matematika di sekolah masih banyak siswa yang mengalami hambatan dan kendala-kendala dalam menyelesaikan soal, atau dikatakan siswa mengalami kesulitan dalam menyelesaikan soal-soal tersebut. Menurut Soleh (1999: 34) karakteristik matematika, yaitu objeknya yang abstrak, konsep dan prinsipnya berjenjang, dan prosedur pengerjaannya banyak memanipulasi bentuk-bentuk ternyata menimbulkan kesulitan dalam belajar matematika. Karakteristik tersebut merupakan bagian dari objek langsung pembelajaran matematika, sehinggga penyebab kesulitan belajar matematika yang dialami siswa dapat diuraikan menurut objek langsung pelajaran matematika sebagai berikut :
a. Fakta
Fakta merupakan perjanjian atau pemufakatan yang dibuat dalam matematika, misalnya lambang, nama, istilah, serta perjanjian. Kaitannya dengan kesulitan belajar matematika siswa, maka siswa sering mengalami kesulitan disebabkan dari adanya lambang-lambang atau simbol, huruf dan kata (Soleh, 1999: 35).
b. Konsep
Konsep merupakan pengertian abstrak yang memungkinkan seseorang menggolong-golongkan objek atau peristiwa (Mohammad Soleh, 1999: 8). Hubungannya dengan kesulitan belajar matematika, maka siswa sering mengalami kesulitan untuk menangkap konsep dengan benar.
c. Prinsip
Prinsip yaitu pernyataan yang menyatakan berlakunya suatu hubungan antara beberapa konsep. Pernyataan itu dapat menyatakan sifat-sifat suatu konsep, atau hukum-hukum atau teorema atau dalil yang berlaku dalam konsep itu (Soleh, 1999: 8). Berkaitan dengan kesulitan belajar yang dialami siswa dalam belajar matematika, maka sering siswa tidak memahami asal usul suatu prinsip, ia tahu rumusnya dan bagaimana menggunakannya, tetapi tidak tahu mengapa digunakan.
d. Skill
Skill merupakan prosedur mempercepat pengerjaan, namun tetap didasari logika yang benar (Soleh, 1999: 8). Ketidaklancaran menggunakan skill/prosedur terdahulu, berpengaruh pada pemahaman prosedur berikutnya.
Kemudian jika ditinjau pendapat Soleh (1998:39), maka ia membagi penyebab kesulitan belajar yang dialami siswa dalam menyelesaikan soal-soal matematika sebagai berikut :
a. Ketidakmampuan siswa dalam penguasaan konsep secara benar
Ini banyak dialami oleh siswa yang belum sampai ke proses berpikir abstraksi, yaitu masih berada dalam taraf berpikir kongkrit. Siswa baru sampai kepemahaman instrumen (instrumental understanding), yang hanya tahu contoh-contoh tetapi tidak dapat mendeskripsikannya. Siswa belum sampai kepemahaman relasi (relational understanding), yang dapat menjelaskan hubungan antar konsep. Akibatnya siswa semakin mengalami kesulitan dalam memahami konsep-konsep lainnya yang diturunkan dari konsep yang belum dikuasainya tadi. Jalan pintasnya ia memberi pengertian sendiri dari konsep-konsep itu, ini disebut miskonsepsi.
b. Ketidakmampuan siswa menangkap arti dari lambang-lambang
Siswa hanya dapat menuliskan dan mengucapkan, sudah tentu siswa tidak dapat menggunakannya. Akibatnya semua kalimat matematika menjadi tak berarti baginya. Jalan pintasnya, memanipulasi sekehendaknya lambang-lambang itu.
c. Ketidakmampuan siswa dalam memahami asal-usulnya suatu prinsip
Siswa tahu apa rumusnya dan bagaimana menggunakannya, tetapi tidak tahu mengapanya. Akibatnya, siswa tidak tahu di mana atau dalam konteks apa prinsip itu digunakan.
d. Siswa tidak lancar menggunakan operasi dan prosedur
Ketidaklancaran menggunakan operasi dan prosedur terdahulu, berpengaruh lagi pada pemahaman prosedur yang berikutnya.
e. Ketidaklengkapan pengetahuan
Ketidaklengkapan pengetahuan ini akan menghambat kemampuannya untuk memecahkan masalah matematika. Sementara itu, pelajaran terus berlanjut secara berjenjang, jadilah matematika suatu misteri.

Dari uraian tersebut di atas dapat diketahui penyebab kesulitan belajar matematika dalam menyelesaikan soal-soal adalah dikarenakan siswa ketidakmampuan siswa dalam menerima objek langsung matematika, sehingga menyebabkan siswa tidak dapat menguasai konsep secara benar, siswa tidak mampu dalam menangkap arti dari lambang-lambang, siswa tidak mampu dalam memahami asal usul suatu prinsip, dan siswa tidak lancar menggunakan operasi dan prosedur.

Read more »

Relasi dan Fungsi

1. Relasi

a. Pengertian relasi
Dalam kehidupan sehari-hari, sering dijumpai kata relasi, seperti relasi dagang, relasi keluarga, relasi kerja, dan lain-lain. Relasi sering diartikan sebagai hubungan, begitu pula dalam matematika. Jika ada himpunan A dan himpunan B, maka relasi (hubungan) dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan anggota-anggota A ke himpunan B (Junaedi, dkk, 1999: 1). Menurut Rusoni (1998: 127) relasi dari himpunan A ke himpunan B (ditulis: R: A ® B) adalah aturan yang mengaitkan anggota himpunan A dengan anggota himpunan B.
Kemudian menurut Rusoni (1998: 128) dikatakan bahwa daerah asal dari suatu relasi adalah himpunan yang anggotanya terdiri dari anggota himpunan pertama, disebut domain. Sedangkan daerah hasil/range dari suatu relasi adalah himpunan yang anggotanya terdiri dari anggota himpunan kedua, disebut kodomain.
b. Cara menyatakan dua himpunan yang berelasi
Ada tiga cara untuk menyatakan relasi, yaitu dengan diagram panah, diagram Cartesius, dan himpunan pasangan berurutan. Dalam diagram panah, relasi dua himpunan dihubungkan melalui tanda panah dan himpunan-himpunan dibuat dalam kurva tertutup. Untuk menyatakan dalam diagram Cartesius, relasi dua himpunan dihubungkan dengan tanda titik-titik tebal (noktah-noktah) dan himpunan yang pertama disebutkan ditulis dalam sumbu x, sementara yang kedua ditulis dalam sumbu y. Sedangkan untuk menyatakan relasi dalam himpunan pasangan berurutan, relasi dua himpunan dibuat dalam satu himpunan yang antara anggota dua himpunan yang berelasi dipisahkan dengan tanda kurung biasa, sehingga tiap anggota himpunan mempunyai pasangannya. Selain itu dalam urutan penulisan tidak boleh terbalik, yaitu himpunan yang pertama disebutkan ditulis di depan himpunan yang kedua. Guna memperjelas menyatakan relasi dengan diagram panah, diagram Cartesius, dan himpunan pasangan berurutan diberikan contoh di bawah ini. Contoh :
Jika P = {1, 3, 5} dan Q = {2, 4, 6}, nyatakan himpunan P ke himpunan Q yang relasinya “kurang dari” dengan :
1) Diagram panah
2) Diagram Cartesius
3) Himpunan pasangan berurutan
Jawab :
1) Diagram panah
2) Diagram Cartesius
Himpunan Q
3) Himpunan pasangan berurutan
{(1,2), (1,4), (1,6), (3,4), (5,6)}

Berdasarkan pengertian dan cara menyatakan dua himpunan yang berelasi, maka dapat dikatakanbahwa relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang mengaitkan anggota himpunan A dengan anggota himpunan B. Di dalam menyatakan dua himpunan yang berelasi dengan diagram panah, diagram Cartesius, dan himpunan pasangan berurutan.

2. Pemetaan (Fungsi)
a. Pengertian pemetaan/fungsi
Pemetaan atau fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B (Djunaedi, 1999: 5). Fungsi dari A ke B sering dinotasikan dengan f: x --> y (dibaca: f memetakan x ke y) dan x anggota A, sedangkan y anggota B dan y merupakan bayangan x atau y = f(x).
b. Grafik pemetaan
Untuk menggambarkan grafik suatu pemetaan dapat dilakukan dalam diagram Cartesius. Jika suatu pemetaan mempunyai daerah asal anggota himpunan bilangan cacah (C), maka grafik dibuat dengan noktah-noktah (titik-titik besar). Hal ini dikarenakan anggota terbatas/berhingga. Tetapi bila pemetaan mempunyai daerah asal anggota himpunan real, maka banyaknya pasangan dua himpunan tak terhingga, sehingga grafiknya berupa ruas garis yang melalui titik-titik yang dibuat.
Contoh :
Suatu pemetaan f(x) --> 2x + 1 dengan daerah asal {x½0£ x £ 3, x Î R}. Tentukan daerah hasil fungsi dan grafiknya !
Jawab :
Daerah asal = {x½0£ x £ 3, x Î R}, misal x = 0, 1, 2, 3

f(x) --> 2x + 1 dapat ditulis f(x) = 2x + 1

misal untuk x = 0 --> f(0) = 2.0 + 1 = 1

x = 1 --> f(1) = 2.1 + 1 = 3

x = 2 --> f(2) = 2.2 + 1 = 5

x = 3 --> f(3) = 2.3 + 1 = 7

Jadi daerah hasilnya = {1, 3, 5, 7}

Untuk membuat grafik fungsi dibuat tabel sebagai berikut :

X



0



1



2



3



2x + 1



1



3



5



7



(x, y)



(0,1)



(1,3)



(2,5)



(3,7)



Grafik dari tabel sebagai berikut :
c. Menentukan banyaknya pemetaan yang mungkin dari dua himpunan
Banyaknya pemetaan yang mungkin dari dua himpunan, menurut Djunaedi (1999: 8) dapat dirumuskan dengan :
Jika banyak anggota himpunan A adalah n(a) dan banyak anggota himpunan B adalah n(b), maka banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B adalah n(b)n(a).
Contoh:
Tentukan banyaknya kemungkinan pemetaan dari A = {a, b} ke B = {1, 2} dengan cara digambar dengan diagram panah dan rumus !
Jawab :
Dengan diagram panah :
Dengan demikian banyaknya kemungkinan pemetaan dari ke B ada 4.
Dengan rumus :
n(a) = 2 dan n(b) = 2, maka banyaknya pemetaan dari A ke B = n(b)pangkat n(a) atau 2pangkat2 = 4. Berdasarkan uraian pemetaan di atas dapat disimpulkan bahwa Pemetaan atau fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B (Djunaedi, 1999: 5). Fungsi dari A ke B sering dinotasikan dengan f: x --> y (dibaca: f memetakan x ke y) dan x anggota A, sedangkan y anggota B dan y merupakan bayangan x atau y = f(x). Banyaknya pemetaan yang mungkin dari dua himpunan dapat dicari dengan digambar dengan diagram panah dan rumus.
3. Korespondensi Satu-satu
a. Pengertian korespondensi satu-satu
Dua himpunan A dan B dikatakan berkorespondensi satu-satu jika setiap anggota A berpasangan dengan tepat satu anggota B, dan setiap anggota B berpasangan dengan tepat satu anggota A.
Contoh :
Dari diagram panah berikut tentukan manakah yang merupakan korespondensi satu-satu
(i) (ii) (iii)
Jawab :
Gb. (i) dan (iii) merupakan korespondensi satu-satu.
Gb. (ii) bukan korespondensi satu-satu sebab ada anggota B yang tidak mempunyai pasangan dan ada pula yang mempunyai lebih dari satu.
b. Menentukan banyaknya korespondensi satu-satu yang mungkin dari dua himpunan yang diketahui banyak anggotanya
Seperti telah diketahui bahwa syarat korespondensi satu-satu dari himpunan A ke himpunan B adalah bila banyak anggota A sama dengan banyak anggota B atau n(A) = n(B). Misalnya untuk korespondensi satu-satu dari himpunan A = {1, 2} ke himpunan B = {a, b}, jika dibuat diagram panahnya dari A ke B yang mungkin sebagai berikut
Ternyata untuk himpunan A dan B yang banyak anggotanya 2 hanya mungkin dibuat dua buah korespondensi satu-satu. Menurut Subagyo (2001: 1) banyaknya cara yang mungkin untuk mengadakan korespondensi satu-satu antara himpunan A dan himpunan B yang mempunyai n anggota adalah n !, di mana n ! = 1 x 2 x 3 x … x (n – 2) x (n – 1) x n. Jika permasalahan dua himpunan di atas dihitung dengan rumus, maka dapat diperoleh n = 2, sehingga banyaknya cara yang mungkin untuk mengadakan korespondensi satu-satu antara himpunan A dan himpunan B yang mempunyai 2 anggota adalah 2 ! = 1 x 2 = 2.

Read more »

Operasi pada Bentuk Aljabar

Operasi pada Bentuk Aljabar

Bentuk aljabar merupakan kaidah atau aturan untuk memecahkan masalah-masalah yang berhubungan dengan pengukuran, yang biasanya ditulis dalam rumus atau formula matematika.

a. Penjumlahan dan pengurangan

Penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar dapat dilakukan jika suku-sukunya sejenis. Suku-suku sejenis merupakan simbol-simbol dalam matematika yang sama dan mempunyai pangkat yang sama. Suku-suku sejenis misalnya 2x dengan 7x, 8x² dengan 3x², x³ dengan 9x³, dan sebagainya.

Contoh :

Tentukanlah !

a. Jumlah dari 4x² – xy + 2x dengan 5xy – 2x² – 5x

b. Kurangkan 9y² + 5y + 6 oleh –5y² + 2y + 2

Penyelesaian :

a. Jumlah dari 4x² – xy + 2x dengan 5xy – 2x² – 5x

= (4x² – xy + 2x) + (5xy – 2x² – 5x)

= 4x² – 2x² – xy + 5xy + 2x – 5x

= (4 – 2)x² + (1– 5)xy + (2 – 5)x

= 2x² + 4xy – 3x

b. Kurangkan 9y² + 5y + 6 oleh –5y² + 2y + 2

= (9y² + 5y + 6) – (–5y² + 2y + 2)

= (9y² + 5y + 6) + ( 5y² – 2y – 2)

= 9y² + 5y² + 5y – 2y + 6 – 2

= (9 + 5)y² + (5 – 2)y + (6 – 2)

= 14y² + 3y + 4

b. Perkalian suku dua

Perkalian suku dua merupakan perkalian antara dua suku dalam suatu operasi. Untuk melakukan perkalian suku dua ini dapat digunakan sifat distributif perkalian, yaitu a(b + c) = ab + ac.

Contoh :

Sederhanakan bentuk aljabar di bawah ini dengan menggunakan sifat distributif perkalian dan dengan skema !

a. 4 (x + 3y)

b. (x + 6) (x – 3)

Penyelesaian :

a. Dengan sifat distributif perkalian :

4 (x + 3y) = 4x + 12y

Dengan skema :

4 (x + 3y ) = 4x + 12y

b. Dengan sifat distributif perkalian :

(x + 6) (x – 3) = x(x – 3)+ 6(x – 3)

= x² – 3x + 6x – 18

= x² + 3x – 18

Dengan skema :

(x + 6) (x – 3 ) = x² – 3x + 6x – 18

= x² + 3x – 18

c. Pemfaktoran

Pemfaktoran pada bentuk aljabar artinya mengubah penjumlahan atau pengurangan bentuk aljabar menjadi bentuk perkalian. Misalnya memfaktorkan bentuk ab + ac artinya mengubah ab + ac menjadi bentuk perkalian ab + ac = a(b + c). Maka a dan (b + c) adalah faktor-faktor dari ab + ac.

Bentuk aljabar yang harus difaktorkan pada tingkat SLTP sebatas pada memfaktorkan bentuk ax + ay, bentuk x² ± 2xy + y², bentuk x² – y², bentuk ax² + bx + c dengan a = 1, dan bentuk ax² + bx + c dengan a ¹ 1. Oleh karena itu untuk membahas pemfaktoran bentuk aljabar diuraiakan sebagai berikut ini.

1) Bentuk ax + ay

Untuk memfaktorkan bentuk aljabar ax + ay dapat dilakukan dengan menggunakan sifat distributif perkalian. Dengan demikian ax + ay = a(x+ y) sehingga faktor ax + ay adalah a dan (x+ y).

Contoh :

Faktorkan 18x² – 9x³y !

Penyelesaian :

Faktor persekutuan antara 18x² dan 9x³y adalah 9x² , sehingga diperoleh faktor 18x² – 9x³y = 9x² (2 – xy)

2) Bentuk x² + 2xy + y²

Hasil perkalian suku dua dari (x + y) (x + y) = x² + 2xy + y², sehingga faktor dari bentuk x² + 2xy + y² = (x + y) (x + y). Untuk memfaktorkan bentuk x² + 2xy + y² menjadi (x + y) (x + y) caranya dengan mengubah suku 2xy menjadi xy + xy atau mengubah suku 2xy menjadi perkalian 2. x. y (Dedi Junaedi, 1999: 78).

Contoh :

Faktorkanlah x² + 12x + 36 !

Jawab :

x² + 12x + 36 = x² + 6x + 6x + 36

= (x² + 6x) + (6x + 36)

= x (x + 6) + 6 (x + 6)

= (x + 6)(x + 6) atau

x² + 12x + 36 = x² + 2. 6. x + 36

= (x + 6)²

3) Bentuk x² – y²

Bentuk x² – y² dapat difaktorkan menjadi (x + y) (x – y). Hal ini diperoleh dari perkalian dua suku (x + y) (x – y) = x (x – y) + y(x – y)

= x² – xy + xy – y²

= x² – y²

Contoh :

Faktorkanlah 4x² – 81 !

Penyelesaian :

4x² – 81 = 2²x² – 9²

= (2x + 9)(2x – 9)

4) Bentuk ax² + bx + c dengan a = 1

Untuk memfaktorkan bentuk ax² + bx + c di mana a = 1 dengan memisalkan :

x² + bx + c = (x + p)(x + q)

= x² + px + qx + pq

= x² + (p + q)x + pq

Dari penjelasan tersebut, diperoleh hubungan p + q = b dan p . q = c.

Contoh :

Faktorkan x² + 3x + 2 !

Penyelesaian :

x² + 3x + 2, berarti b = 3, dan c = 2, sehingga diperoleh p = 1 dan q = 2 karena p + q = 3 dan p . q = 2.

Jadi pemfaktoran x² + 3x + 2 adalah (x + 1)(x + 2).

5) Bentuk ax² + bx + c dengan a ¹ 1

Untuk memfaktorkan bentuk ax² + bx + c di mana a ¹ 1 dengan memisalkan :

ax² + bx + c = .

Jika kedua ruas dikalikan a akan diperoleh :

a²x² + abx + ac = (ax + p)(ax + q)

= a²x² + pax + qax + pq

= a²x² + (p + q)ax + pq

Dari penjelasan tersebut diperoleh p + q = b dan p.q = ac.

Contoh :

Faktorkan 2x² + 7x + 3 !

Penyelesaian :

2x² + 7x + 3, diperoleh a = 2, b = 7, c = 3

Dengan demikian p + q = b Û p + q = 7

p.q = ac Û p.q = 6

Harga yang memenuhi p = 6 dan q = 1

Hal ini berarti 2x² + 7x + 3 =

=

= (x + 3)(2x + 1)

Jadi faktor 2x² + 7x + 3 adalah (x + 3) dan (2x + 1).

Read more »