Operasi pada Bentuk Aljabar

Operasi pada Bentuk Aljabar

Bentuk aljabar merupakan kaidah atau aturan untuk memecahkan masalah-masalah yang berhubungan dengan pengukuran, yang biasanya ditulis dalam rumus atau formula matematika.

a. Penjumlahan dan pengurangan

Penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar dapat dilakukan jika suku-sukunya sejenis. Suku-suku sejenis merupakan simbol-simbol dalam matematika yang sama dan mempunyai pangkat yang sama. Suku-suku sejenis misalnya 2x dengan 7x, 8x² dengan 3x², x³ dengan 9x³, dan sebagainya.

Contoh :

Tentukanlah !

a. Jumlah dari 4x² – xy + 2x dengan 5xy – 2x² – 5x

b. Kurangkan 9y² + 5y + 6 oleh –5y² + 2y + 2

Penyelesaian :

a. Jumlah dari 4x² – xy + 2x dengan 5xy – 2x² – 5x

= (4x² – xy + 2x) + (5xy – 2x² – 5x)

= 4x² – 2x² – xy + 5xy + 2x – 5x

= (4 – 2)x² + (1– 5)xy + (2 – 5)x

= 2x² + 4xy – 3x

b. Kurangkan 9y² + 5y + 6 oleh –5y² + 2y + 2

= (9y² + 5y + 6) – (–5y² + 2y + 2)

= (9y² + 5y + 6) + ( 5y² – 2y – 2)

= 9y² + 5y² + 5y – 2y + 6 – 2

= (9 + 5)y² + (5 – 2)y + (6 – 2)

= 14y² + 3y + 4

b. Perkalian suku dua

Perkalian suku dua merupakan perkalian antara dua suku dalam suatu operasi. Untuk melakukan perkalian suku dua ini dapat digunakan sifat distributif perkalian, yaitu a(b + c) = ab + ac.

Contoh :

Sederhanakan bentuk aljabar di bawah ini dengan menggunakan sifat distributif perkalian dan dengan skema !

a. 4 (x + 3y)

b. (x + 6) (x – 3)

Penyelesaian :

a. Dengan sifat distributif perkalian :

4 (x + 3y) = 4x + 12y

Dengan skema :

4 (x + 3y ) = 4x + 12y

b. Dengan sifat distributif perkalian :

(x + 6) (x – 3) = x(x – 3)+ 6(x – 3)

= x² – 3x + 6x – 18

= x² + 3x – 18

Dengan skema :

(x + 6) (x – 3 ) = x² – 3x + 6x – 18

= x² + 3x – 18

c. Pemfaktoran

Pemfaktoran pada bentuk aljabar artinya mengubah penjumlahan atau pengurangan bentuk aljabar menjadi bentuk perkalian. Misalnya memfaktorkan bentuk ab + ac artinya mengubah ab + ac menjadi bentuk perkalian ab + ac = a(b + c). Maka a dan (b + c) adalah faktor-faktor dari ab + ac.

Bentuk aljabar yang harus difaktorkan pada tingkat SLTP sebatas pada memfaktorkan bentuk ax + ay, bentuk x² ± 2xy + y², bentuk x² – y², bentuk ax² + bx + c dengan a = 1, dan bentuk ax² + bx + c dengan a ¹ 1. Oleh karena itu untuk membahas pemfaktoran bentuk aljabar diuraiakan sebagai berikut ini.

1) Bentuk ax + ay

Untuk memfaktorkan bentuk aljabar ax + ay dapat dilakukan dengan menggunakan sifat distributif perkalian. Dengan demikian ax + ay = a(x+ y) sehingga faktor ax + ay adalah a dan (x+ y).

Contoh :

Faktorkan 18x² – 9x³y !

Penyelesaian :

Faktor persekutuan antara 18x² dan 9x³y adalah 9x² , sehingga diperoleh faktor 18x² – 9x³y = 9x² (2 – xy)

2) Bentuk x² + 2xy + y²

Hasil perkalian suku dua dari (x + y) (x + y) = x² + 2xy + y², sehingga faktor dari bentuk x² + 2xy + y² = (x + y) (x + y). Untuk memfaktorkan bentuk x² + 2xy + y² menjadi (x + y) (x + y) caranya dengan mengubah suku 2xy menjadi xy + xy atau mengubah suku 2xy menjadi perkalian 2. x. y (Dedi Junaedi, 1999: 78).

Contoh :

Faktorkanlah x² + 12x + 36 !

Jawab :

x² + 12x + 36 = x² + 6x + 6x + 36

= (x² + 6x) + (6x + 36)

= x (x + 6) + 6 (x + 6)

= (x + 6)(x + 6) atau

x² + 12x + 36 = x² + 2. 6. x + 36

= (x + 6)²

3) Bentuk x² – y²

Bentuk x² – y² dapat difaktorkan menjadi (x + y) (x – y). Hal ini diperoleh dari perkalian dua suku (x + y) (x – y) = x (x – y) + y(x – y)

= x² – xy + xy – y²

= x² – y²

Contoh :

Faktorkanlah 4x² – 81 !

Penyelesaian :

4x² – 81 = 2²x² – 9²

= (2x + 9)(2x – 9)

4) Bentuk ax² + bx + c dengan a = 1

Untuk memfaktorkan bentuk ax² + bx + c di mana a = 1 dengan memisalkan :

x² + bx + c = (x + p)(x + q)

= x² + px + qx + pq

= x² + (p + q)x + pq

Dari penjelasan tersebut, diperoleh hubungan p + q = b dan p . q = c.

Contoh :

Faktorkan x² + 3x + 2 !

Penyelesaian :

x² + 3x + 2, berarti b = 3, dan c = 2, sehingga diperoleh p = 1 dan q = 2 karena p + q = 3 dan p . q = 2.

Jadi pemfaktoran x² + 3x + 2 adalah (x + 1)(x + 2).

5) Bentuk ax² + bx + c dengan a ¹ 1

Untuk memfaktorkan bentuk ax² + bx + c di mana a ¹ 1 dengan memisalkan :

ax² + bx + c = .

Jika kedua ruas dikalikan a akan diperoleh :

a²x² + abx + ac = (ax + p)(ax + q)

= a²x² + pax + qax + pq

= a²x² + (p + q)ax + pq

Dari penjelasan tersebut diperoleh p + q = b dan p.q = ac.

Contoh :

Faktorkan 2x² + 7x + 3 !

Penyelesaian :

2x² + 7x + 3, diperoleh a = 2, b = 7, c = 3

Dengan demikian p + q = b Û p + q = 7

p.q = ac Û p.q = 6

Harga yang memenuhi p = 6 dan q = 1

Hal ini berarti 2x² + 7x + 3 =

=

= (x + 3)(2x + 1)

Jadi faktor 2x² + 7x + 3 adalah (x + 3) dan (2x + 1).

Read more »

Matematika sebagai Sarana Berpikir Ilmiah

A. Pengertian Matematika
Matematika dibandingkan dengan disiplin-disiplin ilmu yang lain mempunyai karakteristik tersendiri. Banyak para ahli menyebutkan bahwa matematika itu berhubungan dengan ide-ide atau konsep-konsep yang abstrak yang penalarannya bersifat deduktif, namun orang-orang sering menyebut matematika itu ilmu hitung.
Matematika berasal dari bahasa latin manthanein atau mathema yang berarti ‘belajar atau hal yang dipelajari’, sedang dalam bahasa Belanda disebut wiskunde atau ilmu pasti, yang kesemuanya berkaitan dengan penalaran. Matematika memiliki bahasa dan aturan yang terdefinisi dengan baik, penalaran yang jelas dan sistematis, dan struktur atau keterkaitan antar konsep yang kuat. Unsur utama pekerjaan matematika adalah penalaran deduktif yang bekerja atas dasar asumsi (kebenaran konsistensi). Selain itu, matematika juga bekerja melalui penalaran induktif yang didasarkan fakta dan gejala yang muncul untuk sampai pada perkiraan tertentu. Tetapi perkiraan ini, tetap harus dibuktikan secara deduktif, dengan argumen yang konsisten.
Dari segi pengetahuan, arti matematika sangat luas dan dapat dikelompokkan dalam subsistem sesuai dengan semesta pembicaraannya. Dalam setiap subsistem itu ada objek pembicaraan, ada metode pembahasan dan selalu dipenuhi keajegan (konsistensi) pembahasan. Menurut Karso (1994:16) matematika adalah ilmu deduktif tentang struktur yang terorganisir, sebab berkembang dari unsur yang tidak didefinisikan ke unsur yang didefinisikan ke aksioma dan ke teori.
Anton Moeliono dalam Amin Suyitno (1997: 1) berpendapat bahwa matematika sebagai ilmu tentang bilangan-bilangan, hubungan antara bilangan, dan prosedur operasional yang digunakan dalam menyelesaikan masalah mengenai bilangan. Sedangkan menurut Mohammad Soleh (1998: 12) pada dasarnya objek pembicaraan matematika adalah objek abstrak, metodologinya adalah deduktif, yaitu berawal dari pengertian dan pernyataan lalu diturunkan dari pengertian dan pernyataan pangkal sebelumnya yang telah dijelaskan atau dibuktikan kebenarannya.
Berdasarkan penjelasan di atas ditarik suatu kesimpulan bahwa matematika sebagai ilmu deduktif berkaitan struktur yang terorganisir, berkembang dari unsur yang tidak didefinisikan ke unsur yang didefinisikan ke aksioma dan ke teori, di mana objek pembicaraannya abstrak, serta selalu dipenuhi keajegan (konsistensi) pada pembahasannya. Dalam pembelajaranya, matematika biasanya terdiri bilangan-bilangan, hubungan antara bilangan, dan prosedur operasional yang digunakan dalam menyelesaikan masalah mengenai bilangan.

B. Peranan Matematika Sebagai Sarana Berpikir Ilmiah
Perkembangan IPTEK sekarang ini di satu sisi memungkinkan untuk memperoleh banyak informasi dengan cepat dan mudah dari berbagai tempat di dunia, di sisi lain tidak mungkin untuk mempelajari keseluruhan informasi dan pengetahuan yang ada, karena sangat banyak dan tidak semuanya diperlukan. Karena itu diperlukan kemampuan cara mendapatkan, memilih, dan mengolah informasi.
Untuk menghadapi tantangan tersebut, dituntut sumber daya yang handal dan mampu berkompetisi secara global, sehingga diperlukan ketrampilan tinggi yang melibatkan pemikiran kritis, sistematis, logis, kreatif dan kemauan bekerjasama yang efektif. Cara berpikir seperti ini dapat dikembangkan melalui matematika. Hal ini sangat dimungkinkan karena matematika memiliki struktur dengan keterkaitan yang kuat dan jelas satu dengan lainnya serta berpola pikir yang bersifat deduktif dan konsisten.
Matematika merupakan alat yang dapat memperjelas dan menyederhanakan suatu keadaan atau situasi melalui abstraksi, idealisasi, atau generalisasi untuk suatu studi ataupun pemecahan masalah.
Pentingnya matematika tidak lepas dari perannya dalam segala jenis dimensi kehidupan. Misalnya banyak persoalan kehidupan yang memerlukan kemampuan menghitung dan mengukur. Menghitung mengarah pada aritmetika (studi tentang bilangan) dan mengukur mengarah pada geometri (studi tentang bangun, ukuran dan posisi benda). Aritmetika dan geometri merupakan fondasi atau dasar dari matematika.
Saat ini, banyak ditemukan kaidah atau aturan untuk memecahkan masalah-masalah yang berhubungan dengan pengukuran, yang biasanya ditulis dalam rumus atau formula matematika, dan ini dipelajari dalam aljabar. Namun, perkembangan dalam navigasi, transportasi, dan perdagangan, termasuk kemajuan teknologi sekarang ini membutuhkan diagram dan peta serta melibatkan proses pengukuran yang dilakukan secara tak langsung. Akibatnya, perlu studi tentang trigonometri.
Untuk mengembangkan kemampuan berkomunikasi, orang dapat menyampaikan informasi dengan bahasa matematika, misalnya menyajikan persoalan atau masalah ke dalam model matematika yang dapat berupa diagram, persamaan matematika, grafik, ataupun tabel. Mengkomunikasikan gagasan dengan bahasa matematika justru lebih praktis, sistematis, dan efisien. Begitu pentingnya matematika sehingga bahasa matematika merupakan bagian dari bahasa yang digunakan dalam masyarakat.
Hal tersebut menunjukkan pentingnya peran dan fungsi matematika, terutama sebagai sarana untuk memecahkan masalah baik pada matematika maupun dalam bidang lainnya. Peranan matematika tersebut, terutama sebagai sarana berpikir ilmiah oleh Erman Suherman (1995: 56) disebutkan dapat diperolehnya kemampuan-kemampuan sebagai berikut :
1. Menggunakan algoritma
Yang termasuk kedalam kemampuan ini antara lain adalah melakukan operasi hitung, operasi himpunan, dan operasi lainya. Juga menghitung ukuran tendensi sentral dari data yang banyak dengan cara manual.
2. Melakukan manipulasi secara matematika
Yang termasuk kedalam kemampuan ini antara lain adalah menggunakan sifat-sifat atau rumus-rumus atau prinsip-prinsip atau teorema-teorema kedalam pernyataan matematika .
3. Mengorganisasikan data
Kemampuan ini antara lain meliputi : mengorganisasikan data atau informasi, misalnya membedakan atau menyebutkan apa yang diketahui dari suatu soal atau masalah dari apa yang ditanyakan.
4. Memanfatkan simbol, tabel, grafik, dan membuatnya
Kemampuan ini antara lain meliputi : menggunakan simbol, tabel, grafik untuk menunjukan suatu perubahan atau kecenderungan dan membuatnya.
5. Mengenal dan menemukan pola
Kemampuan ini antara lain meliputi : mengenal pola susunan bilangan dan pola bangun geometri.
6. Menarik kesimpulan
Kemampuan ini antara lain meliputi : kemampuan menarik kesimpulan dari suatu hasil hitungan atau pembuktian suatu rumus.
7. Membuat kalimat atau model matematika
Kemampuan ini antara lain meliputi : kemampuan secara sederhana dari fonemena dalam kehidupan sehari-hari kedalam model matematika atau sebaliknya dengan model ini diharapkan akan mempermudah penyelesaianya.
8. Membuat interpretasi bangun geometri
Kemampuan ini antara lain meliputi : kemampuan menyatakan bagian-bagian dari bangun geometri dasar maupun ruang dan memahami posisi dari bagian-bagian itu.
9. Memahami pengukuran dan satuanya
Kemampuan ini antara lain meliputi ; kemampuan memilih satuan ukuran yang tepat, melakukan estimasi, mengubah satuan ukuran ke satuan lainnya.
10. Menggunakan alat hitung dan alat bantu lainya dalam matematika, seperti tabel matematika, kalkulator, dan komputer.
Sementara itu dalam tujuan umum pendidikan matematika (Depdiknas, 2002: 3) menyebutkan berbagai peranan matematika sebagai sarana berpikir ilmiah ditekankan pada kemampuan untuk memiliki:
1. Kemampuan yang berkaitan dengan matematika yang dapat digunakan dalam memecahkan masalah matematika, pelajaran lain, ataupun masalah yang berkaitan dengan kehidupan nyata.
2. Kemampuan menggunakan matematika sebagai alat komunikasi
3. Kemampuan menggunakan matematika sebagai cara bernalar yang dapat dialih gunakan pada setiap keadaan, seperti berpikir kritis, berpikir logis, berpikir sistematis, bersifat objektif, bersifat jujur, bersifat disiplin dalam memandang dan menyelesaikan suatu masalah.
Kemampuan-kemampuan di atas berguna bagi seseorang untuk berpikir ilmiah dalam pendidikan dan berguna untuk hidup dalam masyarakat, termasuk bekal dalam dunia kerja.
Berdasarkan uraian di atas dapat ditarik kesimpulan berkaitan peranan matematika sebagai sarana berpikir ilmiah adalah dapat diperoleh kemampuan-kemampuan meliputi : (1) menggunakan algoritma, (2) melakukan manipulasi secara matematika, (3) mengorganisasikan data, (4) memanfatkan simbol, tabel, grafik, dan membuatnya, (5) mengenal dan menemukan pola, (6) menarik kesimpulan, (7) membuat kalimat atau model matematika, (8) membuat interpretasi bangun geometri, (9) memahami pengukuran dan satuanya, serta (10) menggunakan alat hitung dan alat bantu lainya dalam matematika, seperti tabel matematika, kalkulator, dan komputer.

Read more »

Penyesuaian Diri Siswa di Sekolah

1. Arti Penyesuaian Diri
Penyesuaian diri menurut Hamalik (2000: 16) adalah kemampuan setiap individu untuk menyesuaikan perkembangan dalam dirinya, baik mencakup segi jasmaniah, pengetahuan tentang alam dan ilmu pengetahuan sosial, kebutuhan berkomunikasi melalui bahasa dan matematika, seni dan sastra dan yang lebih penting lagi ialah memahami keseluruhan kehidupan melalui agama dan filsafat sesuai usia dan kemampuannya. Menurut Stendler dan young (Hamalik, 2000: 112) bahwa penyesuian diri dibutuhkan oleh siswa, saat ia memperoleh pengalaman pertama. Berdasarkan uraian di atas penyesuaian diri dapat disimpukan kemampuan setiap individu untuk menyesuaikan perkembangan dalam dirinya untuk memperoleh pengalaman, baik mencakup segi jasmaniah, pengetahuan tentang alam dan ilmu pengetahuan sosial, kebutuhan berkomunikasi melalui bahasa dan matematika, seni, sastra, agama dan filsafat.

1. Berbagai Bentuk Penyesuaian Diri Siswa yang Bersekolah
Berbagai penyesuaian diri pada siswa yang bersekolah sebagai kebutuhan remaja berkaitan kesehatan mental menurut Mappiare (1982: 145) dapat dikelompokkan meliputi penyesuaian diri dalam peer, penyesuaian diri terhadap guru, dan penyesuaian diri terhadap hubungan orang tua.
a. Penyesuaian diri dalam peer (kelompok teman sebaya)
Kebutuhan akan adanya penyesuaian diri siswa dalam kelompok sebaya, muncul sebagai akibat adanya keinginan bergaul siswa dengan teman sebaya mereka. Dalam hubungan ini, siswa sering dihadapkan dalam penerimaan atau penolakan teman sebaya terhadap kehadirannya dalam pergaulan. Pada pihak siswa, hal penolakan ”peer” merupakan hal yang sangat mengecewakan. Untuk menghindari kekecewaan itu remaja perlu sikap, perasaan, keterampilan-keterampilan perilaku yang menunjang penerimaan kelompok teman sebayanya.
b. Penyesuaian diri terhadap para guru
Penyesuaian diri siswa terhadap para guru timbul karena remaja dalam perkembangannya ingin melepaskan diri dari keterikatan dengan orang tua, ingin mendapatkan orang dewasa lain yang dapat dijadikannya sahabat dan sebagai pembimbing. Bagi siswa berhubungan dengan guru sangat penting karena mereka dapat bergaul secara harmonis dan matang. Ketidakmampuan siswa menyesuaikan diri dapat menimbulkan kekecewaan karena siswa tersebut tidak dapat merealisasikan dorongan-dorongannya untuk menunjukkan kedewasaan begaul dengan orang-orang dewasa. Penolakan orang dewasa terhadap keinginan siswa untuk bergaul dengan orang dewasa dapat menimbulkan perasaan rendah diri yang dapat mengganggu kestabilan pribadi siswa yang bersangkutan.
c. Penyesuaian diri dalam hubungan orang tua
Penyesuaian ini dilatarbelakangi antara lain siswa yang ingin berkembang tanpa tergantung pada orang tuanya, ingin diakui sebagai individu yang mempunyai hak-hak sendiri, orang yang mampu memecahkan persoalan sendiri. Siswa tidak menyadari sepenuhnya adanya kebutuhan bantuan dari orang dewasa terutama orang tuanya. Orang tua di mata siswa merupakan yang membuat rintangan besar untuk mendapatkan pengakuan dan kemerdekaan. Orang tua yang selalu mengekang kebebasan siswa akan menimbulkan juga dampak kekecewaan bagi siswa tersebut, sehingga dapat menimbulkan perlawanan-perlawanan terhadap orang tua. Siswa yang dapat menyesuaikan hubungannya dengan orang tua, biasanya terlihat dari hubungan yang harmonis. Siswa menyadari keinginan orang tua, begitu pula orang tua berusaha menyadari pula kebutuhan siswa.Berdasarkan uraian di atas, dapat ditarik kesimpulan berbagai penyesuaian diri pada siswa yang bersekolah dapat dikelompokkan meliputi penyesuaian diri dalam peer, penyesuaian diri terhadap guru, dan penyesuaian diri terhadap hubungan orang tua. Jika terjadinya ketidaksesuaian di ketiga bentuk tersebut dapat menimbulkan kekecewaan dalam diri siswa.

Read more »