Kecerdasan Emosional

Dalam kehidupan, seseorang mempunyai emosi. Terdapat orang yang tidak dapat mengatur emosi, sehingga ia kurang disenangi oleh orang lain. Untuk dapat hidup selaras dengan orang lain dan mengatur kejiwaannya, seseorang harus mampu mengatur emosinya. Kemampuan seseorang mengatur kehidupan emosinya dengan inteligensi inilah yang sering disebut sebagai kecerdasan emosional.

Istilah kecerdasan emosional (emotional intellegence) diciptakan dan didefinisikan secara resmi oleh John Mayer dan Peter Salovey pada tahun 1990, yaitu kemampuan untuk mengenali perasaan, meraih dan membangkitkan perasaan untuk membantu pikiran, memahami perasaan dan maknanya, serta mengendalikan perasaan secara mendalam sehingga membantu perkembangan emosi dan intelektual (Stein dan Book dalam Imanto, 2003: 19).
Cooper dan Sawaf (Saphiro, Lawrence, 1998: 147) mengatakan bahwa kecerdasan emosional adalah kemampuan merasakan, memahami, dan secara selektif menerapkan daya dan kepekaan emosi sebagai sumber energi dan pengaruh yang manusiawi. Kecerdasan emosi menuntut penilikan perasaan, untuk belajar mengakui, menghargai perasaan pada diri dan orang lain serta menanggapinya dengan tepat, menerapkan secara efektif energi emosi dalam kehidupan sehari-hari.
Menurut Goleman dalam Wahyuningsih (2004: 27) bahwa kecerdasan emosional adalah kemampuan seseorang mengatur kehidupan emosinya dengan inteligensi, menjaga keselarasan emosi dan pengungkapannya melalui keterampilan kesadaran diri, pengendalian diri, motivasi diri, empati dan keterampilan sosial.

Kecerdasan emosional bukan merupakan lawan kecerdasan intelektual yang biasa dikenal dengan IQ, namun keduanya berinteraksi secara dinamis. Pada kenyataannya perlu diakui bahwa kecerdasan emosional memiliki peran yang sangat penting untuk mencapai kesuksesan di sekolah, tempat kerja, dan dalam berkomunikasi di lingkungan masyarakat. Ada tujuh unsur utama kemampuan yang berkaitan kecerdasan emosional (Jahja, 2004: 47), yaitu :
a. Keyakinan
Keyakinan merupakan sikap yang ditunjukkan oleh manusia saat ia merasa cukup tahu dan menyimpulkan bahwa dirinya telah mencapai kebenaran Keyakinan yang diyakini di dalam batin individu, entah secara sadar atau tidak menentukan sikap-sikap dan tindakan. Keyakinan timbul dari pengalaman, apa yang dibaca, apa yang didengar, dan apa yang dirasakan. Keyakinan akan dan telah melandasi cara berpikir, berbicara, dan bertindak. Seseorang yang mempunyai kecerdasan emosional baik, maka ia mampu menggunakan keyakinan secara cerdas sesuai dengan kebenaran yang nyata.
b. Rasa ingin tahu
Adanya rasa ingin tahu, individu akan semakin mengerti diri sendiri. Rasa ingin tahu memungkinkan untuk menyingkapkan permasalahan dan pemikiran, yang selama ini ada. Jika rasa ingin tahu dapat dikelola dengan baik, itu akan membawa individu untuk sampai pada tujuan. Segala sesuatu yang tampak nyata dalam hidup tidak sepenuhnya benar. Seorang yang dipenuhi rasa ingin tahu tidak menerima mentah-mentah omongan seseorang, mereka akan mencari kebenaran dari omongan tersebut. Seorang yang dipenuhi rasa ingin tahu mencari informasi detail tentang segala sesuatu, mereka bukan hanya tau “apa” atau “kapan” tapi juga “bagaimana” dan “kenapa”. c. Niat
Niat merupakan kunci dari awal perbuatan. Memulai perbuatan sesuatu merupakan hal yang mudah jika niat yang dibuat individu dilakukan secara benar. Sering kali orang mempunyai niat, tetapi dikarenakan ia tidak cerdas dalam menggunakan niatnya, maka niat yang telah diinginkan menjadi tidak dilakukan. Seseorang yang mempunyai kecerdasan emosional yang baik, ia akan mampu memanfaatkan niatnya sesuai dengan apa yang akan dilakukannya.
d. Kendali diri
Mengendalikan diri dapat dilakukan dengan mengenali emosi diri sendiri. Kendali diri merupakan waspada terhadap suasana hati maupun pikiran tentang suasana hati, bila kurang waspada maka individu menjadi mudah larut dalam aliran emosi dan dikuasai oleh emosi. Kendali diri memang belum menjamin penguasaan emosi, namun merupakan salah satu prasyarat penting untuk mengendalikan emosi sehingga individu mudah menguasai emosi.
e. Keterkaitan
Keterkaitan antar pribadi merupakan kemauan membina dan memelihara hubungan yang saling memuaskan yang ditandai dengan keakraban dan saling memberi serta menerima kasih sayang. Ketrampilan menjalin hubungan antar pribadi yang positif dicirikan oleh kepedulian pada sesama orang. Unsur kecerdasan emosional ini tidak hanya berkaitan dengan keinginan untuk membina persahabatan dengan orang lain, tetapi juga dengan kemampuan merasa tenang dan nyaman berada dalam jalinan hubungan tersebut, serta kemampuan memiliki harapan positif yang menyangkut interaksi sosial.
f. Kecakapan Komunikasi
Kecakapan komunikasi dalam membina hubungan dengan orang lain merupakan keterampilan sosial yang mendukung keberhasilan dalam pergaulan dengan orang lain. Tanpa memiliki kecakapan komunikasi seseorang akan mengalami kesulitan dalam pergaulan sosial. Sesungguhnya karena tidak dimilikinya kecakapan semacam inilah yang menyebabkan seseroang seringkali dianggap angkuh, mengganggu atau tidak berperasaan.
g. Kreatif
Kreativitas adalah proses mental yang melibatkan pemunculan gagasan atau konsep baru, atau hubungan baru antara gagasan dan konsep yang sudah ada. Dari sudut pandang keilmuan, hasil dari pemikiran kreatif (kadang disebut pemikiran divergen) biasanya dianggap memiliki keaslian dan kepantasan. Sebagai alternatif, konsepsi sehari-hari dari kreativitas adalah tindakan membuat sesuatu yang baru.
Uraian di atas dapat menunjukkan bahwa terdapat unsur utama kemampuan yang berkaitan kecerdasan emosional, yaitu keyakinan, rasa ingin tahu, niat, kendali diri, keterkaitan, kecakapan komunikasi dan kreatif. Unsur-unsur utama tersebut yang mempengaruhi kecerdasan emosional, sehingga kecerdasan emosional memiliki peran yang sangat penting untuk mencapai kesuksesan di sekolah, tempat kerja, dan dalam berkomunikasi di lingkungan masyarakat kecerdasan emosional memiliki peran yang sangat penting untuk mencapai kesuksesan di sekolah, tempat kerja, dan dalam berkomunikasi di lingkungan masyarakat.

Read more »

Kesulitan-kesulitan Belajar Matematika

Pembelajaran di sekolah tidak selalu berhasil mencapai tujuan, namun ada hal-hal yang sering mengakibatkan kegagalan ataupun menjadi gangguan. Seperti yang telah disebutkan sebelumnya, ada beberapa faktor yang mempengaruhinya, baik itu faktor internal ataupun eksternal dari siswa. Begitu pula dalam belajar matematika, banyak siswa mengalami kegagalan dalam mencapai tujuan belajar. Siswa yang mengalami kegagalan sering mengatakan bahwa matematika itu sulit dipelajari.

Menurut Hamalik (1982: 139), hal-hal yang mengakibatkan kegagalan atau setidak-tidaknya menjadikan gangguan dalam kemajuan belajar disebut sebagai kesulitan belajar. Selanjutnya kesulitan belajar diartikan oleh Soleh (1999: 35) sebagai kendala-kendala yang menyebabkan ketidakberhasilan dalam belajar.
Jadi dapat dikatakan kesulitan belajar adalah kendala-kendala yang menyebabkan ketidakberhasilan dalam belajar dan mengakibatkan kegagalan atau setidak-tidaknya menjadikan gangguan dalam kemajuan belajar.

Dalam kenyataan pembelajaran matematika di sekolah masih banyak siswa yang mengalami hambatan dan kendala-kendala dalam menyelesaikan soal, atau dikatakan siswa mengalami kesulitan dalam menyelesaikan soal-soal tersebut. Menurut Soleh (1999: 34) karakteristik matematika, yaitu objeknya yang abstrak, konsep dan prinsipnya berjenjang, dan prosedur pengerjaannya banyak memanipulasi bentuk-bentuk ternyata menimbulkan kesulitan dalam belajar matematika. Karakteristik tersebut merupakan bagian dari objek langsung pembelajaran matematika, sehinggga penyebab kesulitan belajar matematika yang dialami siswa dapat diuraikan menurut objek langsung pelajaran matematika sebagai berikut :
a. Fakta
Fakta merupakan perjanjian atau pemufakatan yang dibuat dalam matematika, misalnya lambang, nama, istilah, serta perjanjian. Kaitannya dengan kesulitan belajar matematika siswa, maka siswa sering mengalami kesulitan disebabkan dari adanya lambang-lambang atau simbol, huruf dan kata (Soleh, 1999: 35).
b. Konsep
Konsep merupakan pengertian abstrak yang memungkinkan seseorang menggolong-golongkan objek atau peristiwa (Mohammad Soleh, 1999: 8). Hubungannya dengan kesulitan belajar matematika, maka siswa sering mengalami kesulitan untuk menangkap konsep dengan benar.
c. Prinsip
Prinsip yaitu pernyataan yang menyatakan berlakunya suatu hubungan antara beberapa konsep. Pernyataan itu dapat menyatakan sifat-sifat suatu konsep, atau hukum-hukum atau teorema atau dalil yang berlaku dalam konsep itu (Soleh, 1999: 8). Berkaitan dengan kesulitan belajar yang dialami siswa dalam belajar matematika, maka sering siswa tidak memahami asal usul suatu prinsip, ia tahu rumusnya dan bagaimana menggunakannya, tetapi tidak tahu mengapa digunakan.
d. Skill
Skill merupakan prosedur mempercepat pengerjaan, namun tetap didasari logika yang benar (Soleh, 1999: 8). Ketidaklancaran menggunakan skill/prosedur terdahulu, berpengaruh pada pemahaman prosedur berikutnya.
Kemudian jika ditinjau pendapat Soleh (1998:39), maka ia membagi penyebab kesulitan belajar yang dialami siswa dalam menyelesaikan soal-soal matematika sebagai berikut :
a. Ketidakmampuan siswa dalam penguasaan konsep secara benar
Ini banyak dialami oleh siswa yang belum sampai ke proses berpikir abstraksi, yaitu masih berada dalam taraf berpikir kongkrit. Siswa baru sampai kepemahaman instrumen (instrumental understanding), yang hanya tahu contoh-contoh tetapi tidak dapat mendeskripsikannya. Siswa belum sampai kepemahaman relasi (relational understanding), yang dapat menjelaskan hubungan antar konsep. Akibatnya siswa semakin mengalami kesulitan dalam memahami konsep-konsep lainnya yang diturunkan dari konsep yang belum dikuasainya tadi. Jalan pintasnya ia memberi pengertian sendiri dari konsep-konsep itu, ini disebut miskonsepsi.
b. Ketidakmampuan siswa menangkap arti dari lambang-lambang
Siswa hanya dapat menuliskan dan mengucapkan, sudah tentu siswa tidak dapat menggunakannya. Akibatnya semua kalimat matematika menjadi tak berarti baginya. Jalan pintasnya, memanipulasi sekehendaknya lambang-lambang itu.
c. Ketidakmampuan siswa dalam memahami asal-usulnya suatu prinsip
Siswa tahu apa rumusnya dan bagaimana menggunakannya, tetapi tidak tahu mengapanya. Akibatnya, siswa tidak tahu di mana atau dalam konteks apa prinsip itu digunakan.
d. Siswa tidak lancar menggunakan operasi dan prosedur
Ketidaklancaran menggunakan operasi dan prosedur terdahulu, berpengaruh lagi pada pemahaman prosedur yang berikutnya.
e. Ketidaklengkapan pengetahuan
Ketidaklengkapan pengetahuan ini akan menghambat kemampuannya untuk memecahkan masalah matematika. Sementara itu, pelajaran terus berlanjut secara berjenjang, jadilah matematika suatu misteri.

Dari uraian tersebut di atas dapat diketahui penyebab kesulitan belajar matematika dalam menyelesaikan soal-soal adalah dikarenakan siswa ketidakmampuan siswa dalam menerima objek langsung matematika, sehingga menyebabkan siswa tidak dapat menguasai konsep secara benar, siswa tidak mampu dalam menangkap arti dari lambang-lambang, siswa tidak mampu dalam memahami asal usul suatu prinsip, dan siswa tidak lancar menggunakan operasi dan prosedur.

Read more »

Relasi dan Fungsi

1. Relasi

a. Pengertian relasi
Dalam kehidupan sehari-hari, sering dijumpai kata relasi, seperti relasi dagang, relasi keluarga, relasi kerja, dan lain-lain. Relasi sering diartikan sebagai hubungan, begitu pula dalam matematika. Jika ada himpunan A dan himpunan B, maka relasi (hubungan) dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan anggota-anggota A ke himpunan B (Junaedi, dkk, 1999: 1). Menurut Rusoni (1998: 127) relasi dari himpunan A ke himpunan B (ditulis: R: A ® B) adalah aturan yang mengaitkan anggota himpunan A dengan anggota himpunan B.
Kemudian menurut Rusoni (1998: 128) dikatakan bahwa daerah asal dari suatu relasi adalah himpunan yang anggotanya terdiri dari anggota himpunan pertama, disebut domain. Sedangkan daerah hasil/range dari suatu relasi adalah himpunan yang anggotanya terdiri dari anggota himpunan kedua, disebut kodomain.
b. Cara menyatakan dua himpunan yang berelasi
Ada tiga cara untuk menyatakan relasi, yaitu dengan diagram panah, diagram Cartesius, dan himpunan pasangan berurutan. Dalam diagram panah, relasi dua himpunan dihubungkan melalui tanda panah dan himpunan-himpunan dibuat dalam kurva tertutup. Untuk menyatakan dalam diagram Cartesius, relasi dua himpunan dihubungkan dengan tanda titik-titik tebal (noktah-noktah) dan himpunan yang pertama disebutkan ditulis dalam sumbu x, sementara yang kedua ditulis dalam sumbu y. Sedangkan untuk menyatakan relasi dalam himpunan pasangan berurutan, relasi dua himpunan dibuat dalam satu himpunan yang antara anggota dua himpunan yang berelasi dipisahkan dengan tanda kurung biasa, sehingga tiap anggota himpunan mempunyai pasangannya. Selain itu dalam urutan penulisan tidak boleh terbalik, yaitu himpunan yang pertama disebutkan ditulis di depan himpunan yang kedua. Guna memperjelas menyatakan relasi dengan diagram panah, diagram Cartesius, dan himpunan pasangan berurutan diberikan contoh di bawah ini. Contoh :
Jika P = {1, 3, 5} dan Q = {2, 4, 6}, nyatakan himpunan P ke himpunan Q yang relasinya “kurang dari” dengan :
1) Diagram panah
2) Diagram Cartesius
3) Himpunan pasangan berurutan
Jawab :
1) Diagram panah
2) Diagram Cartesius
Himpunan Q
3) Himpunan pasangan berurutan
{(1,2), (1,4), (1,6), (3,4), (5,6)}

Berdasarkan pengertian dan cara menyatakan dua himpunan yang berelasi, maka dapat dikatakanbahwa relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang mengaitkan anggota himpunan A dengan anggota himpunan B. Di dalam menyatakan dua himpunan yang berelasi dengan diagram panah, diagram Cartesius, dan himpunan pasangan berurutan.

2. Pemetaan (Fungsi)
a. Pengertian pemetaan/fungsi
Pemetaan atau fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B (Djunaedi, 1999: 5). Fungsi dari A ke B sering dinotasikan dengan f: x --> y (dibaca: f memetakan x ke y) dan x anggota A, sedangkan y anggota B dan y merupakan bayangan x atau y = f(x).
b. Grafik pemetaan
Untuk menggambarkan grafik suatu pemetaan dapat dilakukan dalam diagram Cartesius. Jika suatu pemetaan mempunyai daerah asal anggota himpunan bilangan cacah (C), maka grafik dibuat dengan noktah-noktah (titik-titik besar). Hal ini dikarenakan anggota terbatas/berhingga. Tetapi bila pemetaan mempunyai daerah asal anggota himpunan real, maka banyaknya pasangan dua himpunan tak terhingga, sehingga grafiknya berupa ruas garis yang melalui titik-titik yang dibuat.
Contoh :
Suatu pemetaan f(x) --> 2x + 1 dengan daerah asal {x½0£ x £ 3, x Î R}. Tentukan daerah hasil fungsi dan grafiknya !
Jawab :
Daerah asal = {x½0£ x £ 3, x Î R}, misal x = 0, 1, 2, 3

f(x) --> 2x + 1 dapat ditulis f(x) = 2x + 1

misal untuk x = 0 --> f(0) = 2.0 + 1 = 1

x = 1 --> f(1) = 2.1 + 1 = 3

x = 2 --> f(2) = 2.2 + 1 = 5

x = 3 --> f(3) = 2.3 + 1 = 7

Jadi daerah hasilnya = {1, 3, 5, 7}

Untuk membuat grafik fungsi dibuat tabel sebagai berikut :

X



0



1



2



3



2x + 1



1



3



5



7



(x, y)



(0,1)



(1,3)



(2,5)



(3,7)



Grafik dari tabel sebagai berikut :
c. Menentukan banyaknya pemetaan yang mungkin dari dua himpunan
Banyaknya pemetaan yang mungkin dari dua himpunan, menurut Djunaedi (1999: 8) dapat dirumuskan dengan :
Jika banyak anggota himpunan A adalah n(a) dan banyak anggota himpunan B adalah n(b), maka banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B adalah n(b)n(a).
Contoh:
Tentukan banyaknya kemungkinan pemetaan dari A = {a, b} ke B = {1, 2} dengan cara digambar dengan diagram panah dan rumus !
Jawab :
Dengan diagram panah :
Dengan demikian banyaknya kemungkinan pemetaan dari ke B ada 4.
Dengan rumus :
n(a) = 2 dan n(b) = 2, maka banyaknya pemetaan dari A ke B = n(b)pangkat n(a) atau 2pangkat2 = 4. Berdasarkan uraian pemetaan di atas dapat disimpulkan bahwa Pemetaan atau fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B (Djunaedi, 1999: 5). Fungsi dari A ke B sering dinotasikan dengan f: x --> y (dibaca: f memetakan x ke y) dan x anggota A, sedangkan y anggota B dan y merupakan bayangan x atau y = f(x). Banyaknya pemetaan yang mungkin dari dua himpunan dapat dicari dengan digambar dengan diagram panah dan rumus.
3. Korespondensi Satu-satu
a. Pengertian korespondensi satu-satu
Dua himpunan A dan B dikatakan berkorespondensi satu-satu jika setiap anggota A berpasangan dengan tepat satu anggota B, dan setiap anggota B berpasangan dengan tepat satu anggota A.
Contoh :
Dari diagram panah berikut tentukan manakah yang merupakan korespondensi satu-satu
(i) (ii) (iii)
Jawab :
Gb. (i) dan (iii) merupakan korespondensi satu-satu.
Gb. (ii) bukan korespondensi satu-satu sebab ada anggota B yang tidak mempunyai pasangan dan ada pula yang mempunyai lebih dari satu.
b. Menentukan banyaknya korespondensi satu-satu yang mungkin dari dua himpunan yang diketahui banyak anggotanya
Seperti telah diketahui bahwa syarat korespondensi satu-satu dari himpunan A ke himpunan B adalah bila banyak anggota A sama dengan banyak anggota B atau n(A) = n(B). Misalnya untuk korespondensi satu-satu dari himpunan A = {1, 2} ke himpunan B = {a, b}, jika dibuat diagram panahnya dari A ke B yang mungkin sebagai berikut
Ternyata untuk himpunan A dan B yang banyak anggotanya 2 hanya mungkin dibuat dua buah korespondensi satu-satu. Menurut Subagyo (2001: 1) banyaknya cara yang mungkin untuk mengadakan korespondensi satu-satu antara himpunan A dan himpunan B yang mempunyai n anggota adalah n !, di mana n ! = 1 x 2 x 3 x … x (n – 2) x (n – 1) x n. Jika permasalahan dua himpunan di atas dihitung dengan rumus, maka dapat diperoleh n = 2, sehingga banyaknya cara yang mungkin untuk mengadakan korespondensi satu-satu antara himpunan A dan himpunan B yang mempunyai 2 anggota adalah 2 ! = 1 x 2 = 2.

Read more »

Operasi pada Bentuk Aljabar

Operasi pada Bentuk Aljabar

Bentuk aljabar merupakan kaidah atau aturan untuk memecahkan masalah-masalah yang berhubungan dengan pengukuran, yang biasanya ditulis dalam rumus atau formula matematika.

a. Penjumlahan dan pengurangan

Penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar dapat dilakukan jika suku-sukunya sejenis. Suku-suku sejenis merupakan simbol-simbol dalam matematika yang sama dan mempunyai pangkat yang sama. Suku-suku sejenis misalnya 2x dengan 7x, 8x² dengan 3x², x³ dengan 9x³, dan sebagainya.

Contoh :

Tentukanlah !

a. Jumlah dari 4x² – xy + 2x dengan 5xy – 2x² – 5x

b. Kurangkan 9y² + 5y + 6 oleh –5y² + 2y + 2

Penyelesaian :

a. Jumlah dari 4x² – xy + 2x dengan 5xy – 2x² – 5x

= (4x² – xy + 2x) + (5xy – 2x² – 5x)

= 4x² – 2x² – xy + 5xy + 2x – 5x

= (4 – 2)x² + (1– 5)xy + (2 – 5)x

= 2x² + 4xy – 3x

b. Kurangkan 9y² + 5y + 6 oleh –5y² + 2y + 2

= (9y² + 5y + 6) – (–5y² + 2y + 2)

= (9y² + 5y + 6) + ( 5y² – 2y – 2)

= 9y² + 5y² + 5y – 2y + 6 – 2

= (9 + 5)y² + (5 – 2)y + (6 – 2)

= 14y² + 3y + 4

b. Perkalian suku dua

Perkalian suku dua merupakan perkalian antara dua suku dalam suatu operasi. Untuk melakukan perkalian suku dua ini dapat digunakan sifat distributif perkalian, yaitu a(b + c) = ab + ac.

Contoh :

Sederhanakan bentuk aljabar di bawah ini dengan menggunakan sifat distributif perkalian dan dengan skema !

a. 4 (x + 3y)

b. (x + 6) (x – 3)

Penyelesaian :

a. Dengan sifat distributif perkalian :

4 (x + 3y) = 4x + 12y

Dengan skema :

4 (x + 3y ) = 4x + 12y

b. Dengan sifat distributif perkalian :

(x + 6) (x – 3) = x(x – 3)+ 6(x – 3)

= x² – 3x + 6x – 18

= x² + 3x – 18

Dengan skema :

(x + 6) (x – 3 ) = x² – 3x + 6x – 18

= x² + 3x – 18

c. Pemfaktoran

Pemfaktoran pada bentuk aljabar artinya mengubah penjumlahan atau pengurangan bentuk aljabar menjadi bentuk perkalian. Misalnya memfaktorkan bentuk ab + ac artinya mengubah ab + ac menjadi bentuk perkalian ab + ac = a(b + c). Maka a dan (b + c) adalah faktor-faktor dari ab + ac.

Bentuk aljabar yang harus difaktorkan pada tingkat SLTP sebatas pada memfaktorkan bentuk ax + ay, bentuk x² ± 2xy + y², bentuk x² – y², bentuk ax² + bx + c dengan a = 1, dan bentuk ax² + bx + c dengan a ¹ 1. Oleh karena itu untuk membahas pemfaktoran bentuk aljabar diuraiakan sebagai berikut ini.

1) Bentuk ax + ay

Untuk memfaktorkan bentuk aljabar ax + ay dapat dilakukan dengan menggunakan sifat distributif perkalian. Dengan demikian ax + ay = a(x+ y) sehingga faktor ax + ay adalah a dan (x+ y).

Contoh :

Faktorkan 18x² – 9x³y !

Penyelesaian :

Faktor persekutuan antara 18x² dan 9x³y adalah 9x² , sehingga diperoleh faktor 18x² – 9x³y = 9x² (2 – xy)

2) Bentuk x² + 2xy + y²

Hasil perkalian suku dua dari (x + y) (x + y) = x² + 2xy + y², sehingga faktor dari bentuk x² + 2xy + y² = (x + y) (x + y). Untuk memfaktorkan bentuk x² + 2xy + y² menjadi (x + y) (x + y) caranya dengan mengubah suku 2xy menjadi xy + xy atau mengubah suku 2xy menjadi perkalian 2. x. y (Dedi Junaedi, 1999: 78).

Contoh :

Faktorkanlah x² + 12x + 36 !

Jawab :

x² + 12x + 36 = x² + 6x + 6x + 36

= (x² + 6x) + (6x + 36)

= x (x + 6) + 6 (x + 6)

= (x + 6)(x + 6) atau

x² + 12x + 36 = x² + 2. 6. x + 36

= (x + 6)²

3) Bentuk x² – y²

Bentuk x² – y² dapat difaktorkan menjadi (x + y) (x – y). Hal ini diperoleh dari perkalian dua suku (x + y) (x – y) = x (x – y) + y(x – y)

= x² – xy + xy – y²

= x² – y²

Contoh :

Faktorkanlah 4x² – 81 !

Penyelesaian :

4x² – 81 = 2²x² – 9²

= (2x + 9)(2x – 9)

4) Bentuk ax² + bx + c dengan a = 1

Untuk memfaktorkan bentuk ax² + bx + c di mana a = 1 dengan memisalkan :

x² + bx + c = (x + p)(x + q)

= x² + px + qx + pq

= x² + (p + q)x + pq

Dari penjelasan tersebut, diperoleh hubungan p + q = b dan p . q = c.

Contoh :

Faktorkan x² + 3x + 2 !

Penyelesaian :

x² + 3x + 2, berarti b = 3, dan c = 2, sehingga diperoleh p = 1 dan q = 2 karena p + q = 3 dan p . q = 2.

Jadi pemfaktoran x² + 3x + 2 adalah (x + 1)(x + 2).

5) Bentuk ax² + bx + c dengan a ¹ 1

Untuk memfaktorkan bentuk ax² + bx + c di mana a ¹ 1 dengan memisalkan :

ax² + bx + c = .

Jika kedua ruas dikalikan a akan diperoleh :

a²x² + abx + ac = (ax + p)(ax + q)

= a²x² + pax + qax + pq

= a²x² + (p + q)ax + pq

Dari penjelasan tersebut diperoleh p + q = b dan p.q = ac.

Contoh :

Faktorkan 2x² + 7x + 3 !

Penyelesaian :

2x² + 7x + 3, diperoleh a = 2, b = 7, c = 3

Dengan demikian p + q = b Û p + q = 7

p.q = ac Û p.q = 6

Harga yang memenuhi p = 6 dan q = 1

Hal ini berarti 2x² + 7x + 3 =

=

= (x + 3)(2x + 1)

Jadi faktor 2x² + 7x + 3 adalah (x + 3) dan (2x + 1).

Read more »

Matematika sebagai Sarana Berpikir Ilmiah

A. Pengertian Matematika
Matematika dibandingkan dengan disiplin-disiplin ilmu yang lain mempunyai karakteristik tersendiri. Banyak para ahli menyebutkan bahwa matematika itu berhubungan dengan ide-ide atau konsep-konsep yang abstrak yang penalarannya bersifat deduktif, namun orang-orang sering menyebut matematika itu ilmu hitung.
Matematika berasal dari bahasa latin manthanein atau mathema yang berarti ‘belajar atau hal yang dipelajari’, sedang dalam bahasa Belanda disebut wiskunde atau ilmu pasti, yang kesemuanya berkaitan dengan penalaran. Matematika memiliki bahasa dan aturan yang terdefinisi dengan baik, penalaran yang jelas dan sistematis, dan struktur atau keterkaitan antar konsep yang kuat. Unsur utama pekerjaan matematika adalah penalaran deduktif yang bekerja atas dasar asumsi (kebenaran konsistensi). Selain itu, matematika juga bekerja melalui penalaran induktif yang didasarkan fakta dan gejala yang muncul untuk sampai pada perkiraan tertentu. Tetapi perkiraan ini, tetap harus dibuktikan secara deduktif, dengan argumen yang konsisten.
Dari segi pengetahuan, arti matematika sangat luas dan dapat dikelompokkan dalam subsistem sesuai dengan semesta pembicaraannya. Dalam setiap subsistem itu ada objek pembicaraan, ada metode pembahasan dan selalu dipenuhi keajegan (konsistensi) pembahasan. Menurut Karso (1994:16) matematika adalah ilmu deduktif tentang struktur yang terorganisir, sebab berkembang dari unsur yang tidak didefinisikan ke unsur yang didefinisikan ke aksioma dan ke teori.
Anton Moeliono dalam Amin Suyitno (1997: 1) berpendapat bahwa matematika sebagai ilmu tentang bilangan-bilangan, hubungan antara bilangan, dan prosedur operasional yang digunakan dalam menyelesaikan masalah mengenai bilangan. Sedangkan menurut Mohammad Soleh (1998: 12) pada dasarnya objek pembicaraan matematika adalah objek abstrak, metodologinya adalah deduktif, yaitu berawal dari pengertian dan pernyataan lalu diturunkan dari pengertian dan pernyataan pangkal sebelumnya yang telah dijelaskan atau dibuktikan kebenarannya.
Berdasarkan penjelasan di atas ditarik suatu kesimpulan bahwa matematika sebagai ilmu deduktif berkaitan struktur yang terorganisir, berkembang dari unsur yang tidak didefinisikan ke unsur yang didefinisikan ke aksioma dan ke teori, di mana objek pembicaraannya abstrak, serta selalu dipenuhi keajegan (konsistensi) pada pembahasannya. Dalam pembelajaranya, matematika biasanya terdiri bilangan-bilangan, hubungan antara bilangan, dan prosedur operasional yang digunakan dalam menyelesaikan masalah mengenai bilangan.

B. Peranan Matematika Sebagai Sarana Berpikir Ilmiah
Perkembangan IPTEK sekarang ini di satu sisi memungkinkan untuk memperoleh banyak informasi dengan cepat dan mudah dari berbagai tempat di dunia, di sisi lain tidak mungkin untuk mempelajari keseluruhan informasi dan pengetahuan yang ada, karena sangat banyak dan tidak semuanya diperlukan. Karena itu diperlukan kemampuan cara mendapatkan, memilih, dan mengolah informasi.
Untuk menghadapi tantangan tersebut, dituntut sumber daya yang handal dan mampu berkompetisi secara global, sehingga diperlukan ketrampilan tinggi yang melibatkan pemikiran kritis, sistematis, logis, kreatif dan kemauan bekerjasama yang efektif. Cara berpikir seperti ini dapat dikembangkan melalui matematika. Hal ini sangat dimungkinkan karena matematika memiliki struktur dengan keterkaitan yang kuat dan jelas satu dengan lainnya serta berpola pikir yang bersifat deduktif dan konsisten.
Matematika merupakan alat yang dapat memperjelas dan menyederhanakan suatu keadaan atau situasi melalui abstraksi, idealisasi, atau generalisasi untuk suatu studi ataupun pemecahan masalah.
Pentingnya matematika tidak lepas dari perannya dalam segala jenis dimensi kehidupan. Misalnya banyak persoalan kehidupan yang memerlukan kemampuan menghitung dan mengukur. Menghitung mengarah pada aritmetika (studi tentang bilangan) dan mengukur mengarah pada geometri (studi tentang bangun, ukuran dan posisi benda). Aritmetika dan geometri merupakan fondasi atau dasar dari matematika.
Saat ini, banyak ditemukan kaidah atau aturan untuk memecahkan masalah-masalah yang berhubungan dengan pengukuran, yang biasanya ditulis dalam rumus atau formula matematika, dan ini dipelajari dalam aljabar. Namun, perkembangan dalam navigasi, transportasi, dan perdagangan, termasuk kemajuan teknologi sekarang ini membutuhkan diagram dan peta serta melibatkan proses pengukuran yang dilakukan secara tak langsung. Akibatnya, perlu studi tentang trigonometri.
Untuk mengembangkan kemampuan berkomunikasi, orang dapat menyampaikan informasi dengan bahasa matematika, misalnya menyajikan persoalan atau masalah ke dalam model matematika yang dapat berupa diagram, persamaan matematika, grafik, ataupun tabel. Mengkomunikasikan gagasan dengan bahasa matematika justru lebih praktis, sistematis, dan efisien. Begitu pentingnya matematika sehingga bahasa matematika merupakan bagian dari bahasa yang digunakan dalam masyarakat.
Hal tersebut menunjukkan pentingnya peran dan fungsi matematika, terutama sebagai sarana untuk memecahkan masalah baik pada matematika maupun dalam bidang lainnya. Peranan matematika tersebut, terutama sebagai sarana berpikir ilmiah oleh Erman Suherman (1995: 56) disebutkan dapat diperolehnya kemampuan-kemampuan sebagai berikut :
1. Menggunakan algoritma
Yang termasuk kedalam kemampuan ini antara lain adalah melakukan operasi hitung, operasi himpunan, dan operasi lainya. Juga menghitung ukuran tendensi sentral dari data yang banyak dengan cara manual.
2. Melakukan manipulasi secara matematika
Yang termasuk kedalam kemampuan ini antara lain adalah menggunakan sifat-sifat atau rumus-rumus atau prinsip-prinsip atau teorema-teorema kedalam pernyataan matematika .
3. Mengorganisasikan data
Kemampuan ini antara lain meliputi : mengorganisasikan data atau informasi, misalnya membedakan atau menyebutkan apa yang diketahui dari suatu soal atau masalah dari apa yang ditanyakan.
4. Memanfatkan simbol, tabel, grafik, dan membuatnya
Kemampuan ini antara lain meliputi : menggunakan simbol, tabel, grafik untuk menunjukan suatu perubahan atau kecenderungan dan membuatnya.
5. Mengenal dan menemukan pola
Kemampuan ini antara lain meliputi : mengenal pola susunan bilangan dan pola bangun geometri.
6. Menarik kesimpulan
Kemampuan ini antara lain meliputi : kemampuan menarik kesimpulan dari suatu hasil hitungan atau pembuktian suatu rumus.
7. Membuat kalimat atau model matematika
Kemampuan ini antara lain meliputi : kemampuan secara sederhana dari fonemena dalam kehidupan sehari-hari kedalam model matematika atau sebaliknya dengan model ini diharapkan akan mempermudah penyelesaianya.
8. Membuat interpretasi bangun geometri
Kemampuan ini antara lain meliputi : kemampuan menyatakan bagian-bagian dari bangun geometri dasar maupun ruang dan memahami posisi dari bagian-bagian itu.
9. Memahami pengukuran dan satuanya
Kemampuan ini antara lain meliputi ; kemampuan memilih satuan ukuran yang tepat, melakukan estimasi, mengubah satuan ukuran ke satuan lainnya.
10. Menggunakan alat hitung dan alat bantu lainya dalam matematika, seperti tabel matematika, kalkulator, dan komputer.
Sementara itu dalam tujuan umum pendidikan matematika (Depdiknas, 2002: 3) menyebutkan berbagai peranan matematika sebagai sarana berpikir ilmiah ditekankan pada kemampuan untuk memiliki:
1. Kemampuan yang berkaitan dengan matematika yang dapat digunakan dalam memecahkan masalah matematika, pelajaran lain, ataupun masalah yang berkaitan dengan kehidupan nyata.
2. Kemampuan menggunakan matematika sebagai alat komunikasi
3. Kemampuan menggunakan matematika sebagai cara bernalar yang dapat dialih gunakan pada setiap keadaan, seperti berpikir kritis, berpikir logis, berpikir sistematis, bersifat objektif, bersifat jujur, bersifat disiplin dalam memandang dan menyelesaikan suatu masalah.
Kemampuan-kemampuan di atas berguna bagi seseorang untuk berpikir ilmiah dalam pendidikan dan berguna untuk hidup dalam masyarakat, termasuk bekal dalam dunia kerja.
Berdasarkan uraian di atas dapat ditarik kesimpulan berkaitan peranan matematika sebagai sarana berpikir ilmiah adalah dapat diperoleh kemampuan-kemampuan meliputi : (1) menggunakan algoritma, (2) melakukan manipulasi secara matematika, (3) mengorganisasikan data, (4) memanfatkan simbol, tabel, grafik, dan membuatnya, (5) mengenal dan menemukan pola, (6) menarik kesimpulan, (7) membuat kalimat atau model matematika, (8) membuat interpretasi bangun geometri, (9) memahami pengukuran dan satuanya, serta (10) menggunakan alat hitung dan alat bantu lainya dalam matematika, seperti tabel matematika, kalkulator, dan komputer.

Read more »